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Algebra mit Spaß lernen
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Skalarprodukt von Vektoren 5
Beliebige Vektoren I
(nur für Wahlpflichtfachgruppe I)
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Hallo du! Ich grüße dich. Wie die Zeit vergeht. Tse, tse, tse! Schon sind wieder 6 Wochen vergangen seit ich für dich die Seite 4 zum Skalarprodukt gemacht habe. Heute will ich dir zeigen, welche Bedeutung das Skalarprodukt von Vektoren hat, wenn sein Wert ungleich 0 ist. Doch ehe ich dir hier auf dem Trockenen das Schwimmen beibringe, springen wir doch lieber in den Pool, d.h. wir beschäftigen uns mit dem Arbeitsblatt unten. Meine Plauereien zu dem Thema kannst du wie immer rechts neben dem Arbeitsblatt einblenden. Klicke dazu unten auf 1, 2, 3 usw.
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| Nr. 1 |
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Die beiden Vektoren  und  kannst du mit der Maus bewegen. Klicke den Punkt an der Vektorspitze an und ziehe. Probiere es aus und achte darauf, was dir mein Arbeitsblatt sagen will.
Das Skalarprodukt  ist gleich dem Produkt der Vektorbeträge multipliziert mit dem Kosinus des Zwischenwinkels.
In dieser Form benutzt man dieses Werkzeug (diese Formel) aber nicht, sondern man löst sie nach cos auf.
Wenn das Skalarprodukt 0 ist, dann ist der Wert dieses Bruches 0:
cos= 0 => Die Vektoren schließen einen Winkel von 90° ein. |
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Nr. 4 |
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b)
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Lösung mittels der Steigungswinkel:
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| Nr. 3 |
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a)
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Lösung mittels der Steigungswinkel:
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| Bei den beiden Vektoren gibt es eigentlich zwei Zwischenwinkel, die sich beide zu 360° ergänzen. |
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| Nr. 2 |
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Errätst du, wozu das Skalarprodukt von beliebigen Vektoren gut ist?
Du kannst damit Winkel zwischen Vektoren berechnen. Du kannst es aber auch sein lassen und aus den Steigungen der Vektoren die Steigungswinkel berechnen und voneinander subtrahieren. Wie auf den ersten seiten, werde ich dir zunächst beides zeigen. Du musst dann im konkreten Fall einer Aufgabe entscheiden, welches Werkzeug dich schneller zum Ziel bringt.
Aufgabe 1
Berechne das Maß des Winkels zwischen den Vektoren und .
a) 
b) 
c) 
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Nr. 5
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c)
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Lösung mittels der Steigungswinkel:
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Aufgabe 2
Zeichne die Gerade g
und die Strecke [AB] in ein Koodinatensystem. berechne das Maß des Winkels, den die Gerade mit der Strecke [AB] bildet.
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| Lösung a) hier klicken... |
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Lösung b) hier klicken... |
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| Nr. 1 |
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b)
Lösung mit Skalarprodukt:
Der Lösungsweg ist wie bei Aufgabe a)
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Aufgabe 3
Die Punkte A(-2/0) und B(6/2) sind Eckpunkte einer Schar von Dreiecken ABCn.
Es gilt: Cn(x/5)
a) Zeichne das Dreieck ABC1 für  =45° und berechne die x-Koordinate von C1.
b) Zeichne das Dreieck ABC2 für  = 60° und berechne die x-Koordinate des Punktes C1. |
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| Nr. 1 |
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a)
Du kannst den roten Punkt Cn mit der Maus ziehen und damit auch bzw. einstellen.
Ich habe es bisher noch nicht besonders erwähnt.
Achtung! Beim Skalarprodukt sollten die beiden Vektoren einen gemeinsamen Fußpunkt haben.
Probiere aus, was passiert, wenn die beiden Vektoren eine Vektorkette bilden. Nein, ich verrate es dir nicht. Probieren, geht über Studieren.
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| Nr. 2 |
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weiter a)
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| Das Quadrieren einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung, weil du möglicherweise die Anzahl der Lösungen veränderst, d.h. du musst nach dem Lösen der quadratischen Gleichung noch überprüfen, welche der Lösungen auch wirklich Lösungen der Wurzelgleichung sind. |
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| Nr. 3 |
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weiter a)
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Den bayerischen Realschülern empfehle ich die Koeffizienten a, b und c zwar in die Lösungsformel einzusetzen, letzlich aber die Lösungen im EQUA-Menü ihres GTR zu bestimmen.
EQUA-F2-F2-F1 |
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| Nr. 4 |
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b) |
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a=-47 b=468 c=-999
EQUA-F2-F2-F1 (Casio-GTR)
x1 = 3,1 und (x2 = 6,9)
Tu felix Bavaria,
GTR habes! |
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Aufgabe 4
Die Vektoren  und  spannen mit O(0/0) die Dreiecke OPnQ auf.
a) Zeichne das Dreieck OP1Q für x = 2 in ein Koordinatensystem. Berechne das Maß des Winkels P1OQ.
b) Für das Dreieck OP2Q gilt:  . Berechne die Belegung von x und zeichne das Dreieck OP2Q in das Koordinatensystem zu a) ein.
c) Welche Werte kann x annehmen. |
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| Nr. 4 |
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weiter c)
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| Ich habe den Parameter x in x' umbenannt um ihn von der Variablen x in der Gleichung des Trägergraphen unterscheiden zu können. |
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| Nr. 3 |
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weiter c)
Der Trägergraph für die Punkte Pn ist eine Gerade. Dieser Trägergraph und die Gerade OQ schneiden sich links oben im II. Quadranten, wenn der Parameter x nur groß genug ist. Der Schnittpunkt ist die obere Grenze für die Existenz von Punkten Pn. Weiter oben dreht sich der Umlaufsinn der Dreiecke um. Nach rechts unten gibt es keine Grenze, da die Gerade OQ und der Trägergraph auseinander laufen.
Du musst also die obere Grenze bestimmen. Dazu hast du grundsätzlich zwei Möglichkeiten.
- Du stellst die Gleichung des Trägergraphen und die Gleichung der Geraden OQ auf und schneidest sie.
- Du berechnest mit der Skalarproduktformel den Parameterwert x für = 0°.
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| Nr. 2 |
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weiter b ) |
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c)
Um für diese Teilaufgabe eine Lösungsidee zu bekommen, benutze den roten Schieberegler. Was passiert, wenn x immer kleiner bzw. immer größer wird? Gibt es immer Dreiecke? |
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| Nr. 5 |
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weiter c)
2. Lösungsmöglichkeit
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 26 Juli, 2011 11:45
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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nach A verschoben. Auch der Punkt C ist für die Lösung der Aufgabe völlig unwichtig und dient nur der Veranschaulichung. 
rechnen musst oder 
. Vom größeren Steigungswinkel subtrahierst du den kleineren. Diese Schwierigkeit vermeidest du, wenn du das Skalarprodukt benutzt. So wie ich von jetzt an. 
