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| Erst den rechten Rand lesen! |
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| So hier findest Du die Anzahl der Reiskörner
auf jedem der 64 Felder des Schachbretts. |
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| 16 |
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| 64 |
| 128 |
| 256 |
| 512 |
| 1024 |
| 2048 |
| 4096 |
| 8192 |
| 16384 |
| 32768 |
| 65536 |
| 131072 |
| 262144 |
| 524288 |
| 1048576 |
| 2097152 |
| 4194304 |
| 8388608 |
| 16777216 |
| 33554432 |
| 67108864 |
| 134217728 |
| 268435456 |
| 536870912 |
| 1073741824 |
| 2147483648 |
| 4294967296 |
| 8589934592 |
| 17179869184 |
| 34359738368 |
| 68719476736 |
| 137438953472 |
| 274877906944 |
| 549755813888 |
| 1099511627776 |
| 2199023255552 |
| 4398046511104 |
| 8796093022208 |
| 17592186044416 |
| 35184372088832 |
| 70368744177664 |
| 140737488355328 |
| 281474976710656 |
| 562949953421312 |
| 1125899906842624 |
| 2251799813685248 |
| 4503599627370496 |
| 9007199254740992 |
| 18014398509481984 |
| 36028797018963968 |
| 72057594037927936 |
| 144115188075855872 |
| 288230376151711744 |
| 576460752303423488 |
| 1152921504606846976 |
| 2305843009213693952 |
| 4611686018427387904 |
| 9223372036854775808 |
| ______________________ |
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| 18446744073709551615 |
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Nehmen wir an unser Reiskorn
ist 5 mm lang und der Durchmesser ist 2 mm. Nun sind die Dinger
nur sehr näherungsweise zylindrisch. Rechnerisch gehen dann
ca. 64 Körner auf den cm³. Ich habe es ausgezählt,
es ist zu hoch. 50 Körner pro cm³ ist realistischer.
18446744073709551615 : 50 =
368934881474191032 cm³ =
368934881474 m³ =
369 km³
Ein Reiskorn wiegt etwa 0,03 g, d.h. 1 l Reis wiegt etwa 1,5 kg
und 1 m³ wiegt 1,5 t und 1 km³ wiegt 1500 Millionen t
Buddhiram hat 553500 Millionen t Reis zu bekommen. Das ist 'ne
ziemliche Menge, wenn man bedenkt, dass es das 1000-fache der jährlichen
Weltreisernte ist.
Manche Reisfelder liefern 8 t Reis pro Hektar andere nur 3 t. Nehmen
wir den Mittelwert 5,5 t/ha. Um den Reis für Buddhiram anzubauen
bräuchten wir also eine Fläche von 100636363636 ha.
1 ha = 0,01 km²
1 km² = 100 ha
Wir brauchen also 1006363636 km² Anbaufläche. Die Erdoberfläche
beträgt etwa 510 Millionen km². Wir bräuchten also
2 komplette Erdoberflächen um den Reis für Buddhiram innerhalb
eines Jahres zu erzeugen. Wir müssten zwischen den Reisfeldern
schlafen.
Berücksichtigt man, dass der Ertrag pro Hektar damals lausig
war und überhaupt nicht zu vergleichen mit den heutigen Hektarerträgen,
dann enthielt die Aussage unseres Ober-Hof-Haupt-und Chefmathematikers
zwar die richtige Botschaft. Aber es war eine lausige Berechnung.
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Algebra mit Spaß lernen
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locker' Rhythmus:
1 = 2x, das is' wohl nix
?
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Was sagst Du? x = 0 ! Meine Güte, ich habe ja
noch gar nicht angefangen. Heut' bin ich aber auf
einen hoch motivierten Schüler gestoßen.
Aber wo Du recht hast, hast Du recht. Schön,
dass Du Dich an die Potenzen und die Potenzgesetze
erinnerst. Die werden wir nämlich brauchen und
ich will nicht bei Adam und Eva anfangen müssen.
Dann weißt Du sicher auch was 25
oder 210 ist ? Was aber ist 20,5
? Was sagst Du ? Es sei nur eine andere Schreibweise
für Ö2. Na gut,
ich hab' Dich wieder nicht erwischt. Du hast wirklich
im Unterricht gut aufgepasst. Dann kannst Du sicher
auch diese Gleichungen lösen:
Ö2
= 2x =>
Ö2 = 20,5 =>
x = 0,5
4 = 2x => x =
2
125 = 5x => x
= 3
3,45201 = 2x =>
?
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Was hat der Kaninchen-Graph
mit der Lösung der letzten Gleichung zu tun
? Geh' ruhig mal mit der Maus über die Kaninchen.
Du hast keinen Plan ? Dann bist Du hier richtig
und solltest weiter lesen. Was sagst Du? So 'was
wie die letzte Gleichung sei nicht lösbar,
das gibt es nicht ? Abwarten und Tee trinken.
Wenn die schöne Unbekannte, 'tschuldigung
Variable x, im Exponenten auftaucht, nennt man
so eine Gleichung Exponentialgleichung.
Der Name klingt schrecklich. Es sind nur Gleichungen
und die hast Du bisher auch lösen können. |
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Jetzt will ich Dir mal ' ne richtig
schön fette Exponentialgleichung zeigen, nicht
um Dich abzuschrecken, sondern um Dich stolz zu
machen. Denn bis Du hier unten angelangt bist, wirst
Du sie lösen können.
3,451087 = 2,34 ·
2(x+2) - 8,7
So könnte eine Exponentialgleichung
auch aussehen ? Beruhige Dich ! So etwas musst Du
an der bayerischen Realschule selbst in Wahlfachgruppe
1 selten lösen. Aber ich wette mit Dir um ein
virtuelles Bier/ Cola, Du kannst es, wenn Du diese
Site ( graphische Lösungsmethode) und die paar
Sites hier über Logarithmen aufmerksam gelesen
und mitgemacht hast (rechnerische Lösungsmethode).
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In dem Applet links siehst Du 2 Schieberegler.
Stelle den Schieberegler a auf 1 und den Schieberegler
b auf 2. Was siehst Du ?
Handelt es sich hier um den Graphen einer Funktion?
Richtig, es handelt sich um eine Funktion, weil es keine Punkte gibt, die übereinander liegen. Über dem Graphen steht y = 2x . Es ist die Gleichung, die den Graphen beschreibt. Was hier dargestellt wird, ist die Exponentialfunktion (Ufffffffffffff!) y = 2x .
'tschuldigung, Exponentialfunktion heißt es deshalb, weil die Variable x im Exponenten steht und dass es eine Funktion ist, davon haben wir uns ja schon überzeugt. |
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Gehen wir zurück zu unser Exponentialgleichung
ganz oben, die wir nicht lösen konnten.
3,45201 = 2x
Theoretisch müssten
wir sie mit unserem Applet lösen können.
Wir suchen einen Punkt auf dem Graphen, dessen y-Wert
3,45201 ist. Also gehen wir auf der y-Achse um 3,45201
nach oben und dann nach rechts rüber auf den
Graphen und lesen den zugehörigen x-Wert ab.
Du gibst zu, dass man
so eine Exponentialgleichung mittels des Graphen lösen
kann.
Doch zurück zu unserem Applet. Du verstehst noch
nicht was unsere Exponentialfunktion 3,45201 = 2x mit den Schiebereglern a und b zu tun haben?
Mit dem Applet kannst Du Exponentialfunktionen der
Form y = a · bx darstellen, wobei a (probier es nur aus)
und b mit Zahlen zwischen 0 bzw. 0,1 und 4 belegt werden
können. Über das, was da noch mehr zulässig
ist oder nicht, können wir uns später Gedanken
machen.
So und jetzt suchen wir uns einen guten, zoombaren
Funktionsplotter und lösen die Gleichung graphisch.
Und wie es der Zufall will, hab' ich hier gleich einen:
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Als Funktionsterm
gibts Du 2^x ein. Dann lässt Du Dir die Funktion
anzeigen. Eventuell musst Du erst etwas heraus
zoomen um auf dem Funktionsgraphen den Punkt mit
dem y-Wert 3,45.... zu finden. |
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Nach dem Herauszoomen ziehst Du um diesen Punkt
mit der Maus ein Rechteck und zoomst diesen Teil des
Graphen. Du suchst wieder diesen Punkt und zoomst
diesen Teil des Graphen abermals. Das machst Du ein
paarmal. Irgendwann findest Du den Punkt mit dem y-Wert
3,4502..., also 4 Stellen Genauigkeit sollten es schon
sein. Lese den Wert für x oben links ab: x =
1,7874...
Was das soll ? Du hast gedacht, hier lernst Du was
über Logarithmen ? Du hast gerade einen mit einer
graphischen Methode bestimmt. Diese Methode kannst
Du übrigens auch mit Deinem graphischen Taschenrechner
in der Schule anwenden. Damit die Suche nach der Nadel
im Heuhaufen bzw. dem Punkt auf dem Graphen etwas
einfacher wird, kannst Du folgenden Trick anwenden.
3,45201 = 2x <=> 0
= 2x - 3,45201
Wir formen unsere Exponentialgleichung
so um, dass auf einer Seite 0 steht ? Was das bringt
? Jetzt lässt wohl bei Dir die Konzentration
nach ? Wir suchen einen Punkt auf dem Graphen mit
der y-Koordinate 0. Vorhin haben wir den Punkt mit
zoomen und zittern gefunden. Zoomen müssen wir
immer noch, aber nur noch den Schnittpunkt des Graphen
mit der x-Achse. Wir haben den Punkt ständig
vor Augen.
Weißt Du noch, wie man den Schnittpunkt
eines Funktionsgraphen mit der x-Achse nennt ? Richtig,
Nullstelle der Funktion. Wir bestimmen hier eine Nullstelle.
Zurück zum Applet und die Funktion f(x) = 2x
- 3,45201 eingegeben. Was? Fehlermeldung ? Du musst
einen Dezimalpunkt setzen! Was y = 3,41... E-7 bedeutet
? Also bitte! Das ist die übliche wissenschaftliche
Schreibweise für sehr große bzw. sehr kleine
Zahlen hier also
3,41... ·
10-7= 0,000000341...
Du siehst, wieviel bequemer es ist mit diesem Trick
unsere Exponentialgleichung zu lösen. Damit kannst
Du auch die dicke fette Gleichung oben 3,451087 =
2,34 · 2(x+2)
- 8,7 lösen. Kopiere Dir hier die Eingabe ab:
2.34*2^(x+2)-8.7-3.451087. Ich komme auf x = 0,37650...
Gemach, zu den Logarithmen kommen wir auf der nächsten
Site. Was hast Du hier gelernt?
- Du hast gelernt, dass es durchaus sinnvoll ist
für den Exponenten einer Potenz reelle Zahlen
zuzulassen.
- Du hast gelernt, wenn bei einer Gleichung die
Variable x im Exponenten steht, es sich um eine
Exponentialgleichung handelt.
- Du hast gelernt, dass es Exponentialfunktionen
gibt.
- Du hast gelernt, wie man durch Bestimmen der Nullstellen
einer Exponentialfunktion eine Exponentialgleichung
mit einer graphischen Methode lösen kann.
In Deinem Mathe-Buch kannst Du nachlesen, dass man
Exponentialfunktionen benutzt um Wachstums- bzw. Abklingprozesse
zu beschreiben.
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 26 Juli, 2011 13:23
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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Schach, Reis und Potenzen
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Der Legende nach stammt das Schachspiel aus Indien. Das Schachbrett
besteht aus 64 Quadraten. Ein König namens Sher Khan war von
dem neuen Spiel so begeistert, dass er seiner Armee befahl nach
dem Erfinder des Spiels zu suchen. Sie brachten den Erfinder des
Spiels vor den König.
Lach' jetzt nicht, es war wirklich so: Es war ein Mathe-Lehrer
namens Buddhiram.
"Ich möchte dich für deine wundervolle Erfindung
belohnen", begrüßte der König den Mann.
Der Mathe-Lehrer verbeugte sich. "Ich bin reich und mächtig
genug", fuhr der König fort, "dir auch den ausgefallensten
Wunsch zu erfüllen. Sag' mir nur, was du haben möchtest
und ich erfülle es dir."
Buddhiram blieb still.
"Sei nicht so scheu", ermutigte ihn der König. "Sag
nur was du möchtest, ich werde an Nichts sparen dir den Wunsch
zu erfüllen".
"Eure Freundlichkeit kennt keine Grenzen", erwiderte
der Mathe-Lehrer, "aber gebt mir bitte etwas Zeit meine Antwort
zu bedenken. Morgen, wenn ich darüber nachgedacht habe, werde
ich euch meinen Wunsch mitteilen."
Am nächsten Tag überraschte Buddhiram den König
mit einem sehr bescheidenen Wunsch.
"Herr", sagte er, "ich möchte auf dem ersten
Quadrat des Schachbretts ein Reiskorn haben."
"Ein gewöhnliches Reiskorn ?" Der König traute
seinen Ohren nicht.
"Ja, Herr, ein Reiskorn auf dem ersten Feld, zwei auf dem
zweiten, vier auf dem dritten, acht auf dem vierten, sechzehn auf
dem fünften??"
"Es reicht", rief der König verärgert. Du sollst
deine Reiskörner für alle 64 Quadrate des Schachbretts
haben, so wie du es wünschst. Ich werde jeden Tag die Anzahl
der Körner vom Vortag verdoppeln lassen. Aber wisse, dein Wunsch
ist meine Großzügigkeit nicht wert. Mit dem Wunsch nach
so einer geringen Belohnung hast du mir deine Mißachtung gezeigt.
Gerade als Lehrer solltest du der Freundlichkeit deines Königs
mehr Respekt erweisen. Geh! Meine Diener werden dir deinen Sack
Reiskörner bringen."
Buddhiram lächelte und ging hinaus. Am Tor wartete er auf
seine Belohnung.
Beim Abendessen erinnerte sich der König an Buddhiram und
erkundigte sich ob der "tollkühne" Mathe-Lehrer seine
"geizige" Belohnung bekommen habe.
"Herr", sagte der Chef-Hof-Mathematiker, "wir haben
seit heute morgen die Anzahl der Reiskörner berechnet, die
Buddhiram als Belohnung möchte. Die Anzahl ist tatsächlich
außerordentlich hoch ??.."
"Wieviel außerordentlich", unterbrach ihn der König
ungeduldig. "Meine Getreidespeicher können das mit Leichtigkeit
leisten. Die Belohnung ist versprochen worden und muss bezahlt werden."
"Es steht nicht in ihrer Macht, Herr, den Wunsch des Buddhiram
zu erfüllen. Ihre Getreidespeicher enthalten nicht genug Reiskörner.
Selbst im ganzen Königreich gibt es nicht genug Reiskörner,
ja nicht einmal auf der ganzen Welt. Und wenn ihr euer Wort halten
wollt, dann müsst ihr alles Land der Welt kaufen und es in
Reisfelder verwandeln lassen, ihr müsst die Seen und Ozeane
trocken legen und alles Eis im Norden schmelzen lassen. Wenn ihr
dann all dieses Land mit Reis besäen lasst, dann und nur dann
werdet ihr vielleicht genug Reis haben um den Wunsch des Buddhiram
zu erüllen."
Der König war sehr beeindruckt und eingeschüchtert. "nenne
diese gigantische Zahl", sagte er nachdenklich.
"Es sind 18,446,744,073,709,551,615 Reiskörner",
sagte der Mathematiker.
So jetzt wollen wir diesen Chef- Ober-Haupt-und-Hof-Mathematiker
einmal überprüfen und uns klar machen was diese Zahl eigentlich
bedeutet. Dann wird Dir vielleicht auch klar was "Exponential"
bedeutet.
Wenn Du Dir oben die Anzahl der Ziffern ansiehst, wird Dir klar
sein, mit dem Taschenrechner geht es nicht. Der ist viel zu ungenau.
Wir brauchen eine Genauigkeit von mindestens 20 Ziffern.
Ich habe im Web den geeigneten Wunderrechner gefunden. In der Voreinstellung
arbeitet er mit einer Genauigkeit von 80 Ziffern, aber 1000 wären
auch möglich. Klicke auf das Bild unten (öffnet in eigenem
Fenster). Meine Ergebnisse kannst Du am linken Heftrand nachlesen.
Aber probiere es ruhig selber.
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