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Hochzeitsbilder,
die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
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In einer vierstelligen Tafel der Zehnerlogarithmen kann die Genauigkeit weder im Numerus noch im Logarithmus über vier Ziffern hinaus gesteigert werden. Die letzten Ziffern sind bereits gerundet; eine Interpolation ist daher unmöglich.

Was ist eine Interpolation?

Nehmen wir an Du hast eine fünfstellige Logarithmentafel für vierstellige Numeri. Du sollst den Logarithmus für den Numerus 60168 bestimmen. Der Numerus 60168 liegt zwischen 60160 und 60170, folglich muss lg60168 zwischen lg60160 und lg60170 liegen, d.h. zwischen 4,77931 und 4,77938.

Die beiden Mantissen unterscheiden sich um 7 Einheiten der letzten Stelle. Diese Mantissendifferenz wird "Tafeldifferenz" genannt. Die Tafeldifferenz ist also 7.

Wir schließen wie folgt:

Den 10 Numeruseinheiten entsprechen 7 Mantisseneinheiten.

Auf eine Numeruseinheit kommen 0,7 Mantisseneinheiten.

Auf 8 Numeruseinheiten kommen 8 • 0,7 = 5,6 Mantisseneinheiten.

Wächst der Numerus von 60160 auf 60168, also um 8 Einheiten, dann wächst die Mantisse um 5,6 Einheiten, d.h. von 77931 auf 77936,6. Somit ist das Ergebnis:

lg 60168 = 4,77937

Das Ausrechnen solcher Zwischenwerte wird Interpolation genannt (interpolare (lat.) heißt einschieben oder einschalten).

Beim Interpolieren kommt es vor allem darauf an, den Mantissenzuwachs, hier bei uns ist er 5,6, zu berechnen. Er ergibt sich, indem man den 10.Teil der Tafeldifferenz, bei uns 7, mit der 5. Numerusziffer, bei uns 8, multipliziert.

Den meisten Logarithmentafeln sind sogenannte Proportionaltafeln beigegeben, sie stehen am Rand. Meist sind sie abgekürzt mit P.P. (partes proportionales) überschrieben.

Aus diesen Täfelchen ist der Wert für den Mantissenzuwachs sofort ablesbar. Du brauchst ihn nicht mehr berechnen. Unser P.P. - Täfelchen würde wie folgt aussehen:

 
P.P.
1
1
2
1
3
2
4
3
5
4
6
4
7
5
8
6
9
6
 

Hierin bedeuten die Ziffern 1 bis 9 in der ersten Spalte die 5. Numerusziffer. In der 2. Spalte stehen die gerundeten Mantissendifferenzen.

Alles klar?

Algebra mit Spaß lernen

 
Herr Logarithmus tafelt 2
 
     
 

Na gut, ich sehe schon, Du willst wirklich die Logarithmen und die Logarithmentafel als Rechenhilfsmittel kennenlernen. Bevor wir uns in diesen Spaß stürzen, muss ich erst sicherstellen, ob Du die alternative Schreibweise für Wurzeln kennst.

z.B. Ö5 = 51/2 = 50,5 oder 10a3 = a3/10 = a0,3

Du weißt also was gebrochene Hochzahlen sind? Ich will Dir mal glauben, weil ich hier nicht noch ein paar Seiten einfügen will, die das auch noch erklären. Ich könnte Dir das Rechnen mit der Logarithmentafel natürlich auch zeigen, ohne dass irgendeine gebrochene Hochzahl vorkommt. Doch Du würdest nicht verstehen, warum die Logarithmentafel in der Zeit vor dem Taschenrechner einfach unentbehrlich war. Die ersten drei Beispiele, die ich Dir zeige, könntest Du auch ohne Logarithmen lösen. Das wäre zwar mühsam, aber es würde gehen. Die letzten beiden allerdings haben sich früher nur mit der Logarithmentafel lösen lassen. Und für diese letzten beiden Beispiele, musst Du eben mit gebrochenen Hochzahlen umgehen können. Alles klar?

Gut fangen wir an. Die Logarithmengesetze kennst Du noch? Also manchmal funktioniert Dein Gedächtnis wie ein kaputtes Küchensieb. 'tschuldigung! Lass uns zur Stütze Deines Gedächtnisses noch ein paar Vorübungen machen.

Vorübung 1: Drücke die Logarithmen von a) a3b2, b) 3 Öa • Öb, c) 4 Öa • 4 Öb mit a,b e R+ zur Basis g (g e R+ \{1}) durch die Logarithmen von a und b zu derselben Basis aus.

a) logga3b2 = logga3 + loggb2 = 3 • logga + 2 • loggb

b) logg3 Öa • Öb = logg3 Öa + loggÖb = logga1/3 + loggb1/2 = 1/3 • logga + 1/2 • loggb

c) logg4 Öa • 4 Öb = logg4 Öa + logg4 Öb = logga1/4 + loggb1/4 = 1/4 • logga + 1/4 • loggb

Du siehst also, dass durch Anwendung der Logarithmengesetze eine Multiplikation auf eine Addition und die Potenzierung auf eine Multiplikation zurückgeführt werden kann. Wir gehen jeweils um eine Rechenstufe zurück. Du erinnerst Dich jetzt hoffentlich wieder, dass die Division durch die Anwendung der Logarithmengesetze auf die Subtraktion zurückgeführt werden kann. Na dann wollen wir mal unsere zweite Vorübung starten.

Vorübung 2: Bestimme den Numerus zu

a) logga + 3 • loggb = logga + loggb3 = loggab3 => Numerus = ab3

b) 2 • logga - 3 • loggb = logga2 - loggb3 = logga2 : b3 => Numerus = a2 / b3

c) 1/2 • loggx - 2/7 • loggy = loggx1/2 - loggy2/7 = loggx1/2 : y2/7 = loggÖx : 7Öy2

=> Numerus = Öx / 7Öy2

d) 3/8 • loggx4 - 2 • loggy3 = loggx4•3/8 - loggy3•2 = loggx3/2 - loggy6 = loggx3/2 : y6

=> Numerus = Öx3 / y6

 

So und jetzt zeige ich Dir 5 Beispiele bevor ich Dich auf meine Aufgaben los lasse. Große Sicherheit im Rechnen mit Logarithmen bei wenig Schreibarbeit ermöglicht das Rechenschema, welches ich im folgenden verwende.

Merke: Überschlagsrechnungen vor der logarithmischen Rechnung sollten nie fehlen!

Beispiel 1
 

 
 

52,32 • 4,376 • 0,4168 = 95,43

Überschlag:

50 • 4 • 0,4 = 80

 
N
   
lg



52,32
>
1,7187
4,376
>
0,6411
0,4168
>
0,6199 - 1



95,43
<
1,9797
  • Du bestimmst von den Numeri die Logarithmen.
  • Du addierst die Logarithmen.
  • Du delogarithmierst die Summe der Logarithmen.
 
 

In der Logarithmentafel schlägst Du die Mantisse 9797 nach. Der zugehörige Numerus hat die Ziffernfolge 9-5-4-3. Die Kennzahl 1 vor dem Komma sagt Dir, dass der Numerus 2 Stellen vor dem Komma hat.

Beispiel 2
 

 
 

43,56 : 0,2134 = 204,1

Überschlag:

40 : 0,2 = 200

N
   
lg



43,56
>
1,6391
0,2134
>
0,3292 - 1



204,1
<
2,3099
  • Du bestimmst von den Numeri die Logarithmen.
  • Du subtrahierst die Logarithmen. Aus -1 wird dabei +1.
  • Du delogarithmierst den Differenzwert der Logarithmen.
 
 

Beispiel 3
 

 
 

0,52146 = 0,02010

Überschlag:

0,56 = 1/64 = 0,02

N
   
lg



0,5214
>
0,7172 - 1 |• 6



4,3032 - 6 =
0,02010
<
0,3032 - 2
  • Du bestimmst vom Numerus den Logarithmus.
  • Du multiplizierst den Logarithmus mit 6.
  • Du verrechnest die Kennzahlen.
  • Du delogarithmierst das Ergebnis.
 
 

Beispiel 4
 

 
 

5 Ö42,31 = 2,115

Überschlag:

5 Ö42
~
2
N
   
lg



42,31
>
1,6264 |: 5



2,115
<
0,3253
  • Du bestimmst vom Numerus den Logarithmus.
  • Du dividierst den Logarithmus durch 5.
  • Du delogarithmierst das Ergebnis.
 
  Beispiel 5
 
 
 

10 Ö(5,2135 + 4,6235) = 2,385

Überschlag:

10 Ö(3000+ 3000) =
10 Ö6000 ~ 5 Ö80 ~ 2,5

N
   
lg



5,213
>
0,7171 | • 5
3850
<
3,5855



4,623
>
0,6649 | • 5
2111
<
3,3245

 

5961
 
>
3,7753 | : 10
2,385
 
<
0,3775
 

Bei schwierigen Aufgaben musst Du die in den Beispielen 1 bis 5 dargestellten Verfahren miteinander kombinieren. Dabei solltest Du versuchen, möglichst nur einmal, nämlich am Schluss der Rechnung den Numerus aufzuschlagen. Kommt innerhalb der Rechnung aber z.B. eine Addition der Numeri vor, so ist es unvermeidbar, zwischendurch zum Numerus überzugehen.

So jetzt kannst Du üben. Am rechten Rand findest Du genug Aufgaben. Die Lösungen dazu stehen entweder daneben oder unten drunter. Sie sind zunächst nicht sichtbar. Du findest sie aber mit Mouseover.

  • Du bestimmst von 5,213 den Logarithmus und multiplizierst ihn mit 5.
  • Das 1. Zwischergebnis wird delogerithmiert.
  • Du bestimmst von 4,623 den Logarithmus und multiplizierst ihn mit 5.
  • Das 2. Zwischergebnis wird delogerithmiert.
  • Du addierst die beiden Numeri, die Du aus den Zwischenergebnissen erhalten hast und logarithmierst die Summe. Dieser Logarithmus wird durch 10 dividiert.
  • Du delogarithmierst das Ergebnis.
 
     
 

Zum Ende erlaube mir noch ein paar Zeilen. Natürlich enthielt eine Logarithmentafel, wie wir sie früher an der Realschule verwendet haben nicht nur die 9 Seiten mit den Logarithmen. Du findest dort auch Tabellen mit den Quadratzahlen von 1,000 bis 9,999. Damit kannst Du Quadrate zwischen 1 und 9999 herauslesen. Ebenso Tabellen mit den Quadratwurzeln, den Werten für die Winkelfunktionen mit einer Genauigkeit von 3 Minuten, die Logarithmen zu den Winkelfunktionen und sonst noch einigen mathematischen Schnickschnack. Zusammen mit dem Rechenstab konnte man wirklich auch ohne Taschenrechner einigermaßen bequem rechnen. Mit Taschenrechner, gebe ich zu, ist es aber noch bequemer.

Viel Spaß beim Üben!

 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 18:59 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Die Lösungen findest Du entweder neben der Aufgabe oder, wenn diese zu lang ist, unten drunter. Du musst allerdings die weiß formatierte Schrift mit der maus markieren.

Die etwas komplizierteren Aufgaben kannst Du auch einmal mit Deinem Taschenrechner üben. Du wirst sehen auch das ist nicht einfach. Bedenke aber beim Vergleichen, dass Du mit der Logarithmentafel, die ich Dir anbiete, nur auf 4 geltende Ziffern Genauigkeit rechnen kannst. Meine Ergebnisse sind mit der Logarithmentafel berechnet und unterscheiden demnach manchmal beträchtlich vom Taschenrechner, vor allem bei Aufgaben bei denen man die Numeri von Zwischenergebnissen bestimmen muss.

 

40,85 • 37,12 1516
23,14 • 5,062 117,1
0,35 • 2,87 1,005
28,27 • 193,8 • 8,516 46660
56,43 • 0,0025 • 0,692 0,09745
78341 : 7,542 10390
67,23 : 0,0531 1266
93,48 : 0,07248 1290
0,08765 : 0,007654 11,45
0,07439 : 0,816 0,09116
0,009812 : 0,0005421 18,10
(65,2 • 4,12) : 23,7 11,33
345,62 • 0,78293 270,6
0,6432 + 0,73422 0,9524
45,23 - 78,233 - 386350
Ö(8,32 + 66,92) 67,42
Ö(34,23 + 31,23) 265,3
(Ö2 + Ö5)2 13,32
(Ö7 - Ö5)3 0,06893
(2Ö3 - 5Ö2)2 13,02
(32,13 - 56,22)3  
2,679 * 10^13
Ö(56,22 + 86,32 - 2 • 56,2 • 86,3 • 0,6732)
63,86
Ö(76,12 + 32,92 + 2 • 76,1 • 32,9 • 0,7231)
102,5
(54,22 + 78,12 - 53,12) : (2 • 54,2 • 78,1)
0,7345
(1,043 - 1) : 0,04
3,125
(1,0610 - 1) : 0,06
13,18
(1,04510 - 1) : 0,045
12,29
0,45629 : 345,67
1,320 * 10^(-3)
672,543
3,041 * 10^8