Figurine12
 
 
Hochzeitsbilder,
die sich von der Masse unterscheiden, dafür setzt Lisa Feldmann Kreativität, Natürlichkeit und eine ausdrucksstarke Bildsprache ein.
www.just-married-foto.de
 

Besuchen Sie auch meine anderen Projekte:

Meine Gedichte
www.oqqa.de

Genealogie
www.qoqa.de

Postgeschichte
www.bayernsammler.de

 
 

Für die Ideen zu diesen Seiten mit den Strategie-Aufgaben und für die Aufgaben selber bedanke ich mich ganz herzlich bei meinen Kolleginnen und Kollegen aus der Sinus-Gruppe der Realschule Ebermannstadt.

 

Invarianzprinzip

 

Du willst also wirklich wissen, was dieses bescheuerte Wort bedeutet?

Na gut! Schauen wir in den Duden unter dem Stichwort Prinzip nach. Ein Prinzip ist eine Regel. Also das erste Bonbon haben wir schon fast gelutscht. Hasenpfoten-Strategie heißt, wir wenden die "Invarianzregel" an.

Was heißt nun aber Invarianz?

Weißt du, was es heißt, wenn ein Ding, eine Sache variabel ist? Richtig, das Ding, die Sache ist veränderlich. Und was heißt es, wenn wir sagen ein Ding, eine Sache ist invariabel? Na, keine Ahnung? Du vermutest das Gegenteil? Richtig, es ist das Gegenteil. Es heißt: Unveränderlich!

Im Wort "invariabel" und im Wort "Invarianz" steckt beidesmal das lateinische Wort "varius" drin, und dies heißt "verschieden", oder "unterschiedlich".

Setzen die alten Römer nun vor ihre Eigenschaftswörter die Vorsilbe "in" meinen sie genau das Gegenteil.

Die spinnen, die Römer? Sei vorsichtig! So etwas gibt es im Deutschen auch. Denke einmal an die Eigenschaftswörter "klug" und "unklug", "sicher" und "unsicher", oder an "Glück" und "Unglück".

Also falls du einmal einem alten Römer begegnest ( es soll ja Zeitmaschinen geben), dann sage zu ihm niemals etwas sei "in". Für ihn bedeutet es nämlich genau das Gegenteil.

Hast du nun geschnallt, was Invarianz in einer Textaufgabe bedeutet? Es gibt mindestens eine Sache, die sich nicht verändert.

Du kennst das Invarianzprinzip auch aus dem Alltag. Wenn du ein großes Puzzle zusammensetzt, fängst du auch mit den Eck- und Randstücken an. Bei denen ändert sich nämlich auch etwas nicht, oder besser sie haben etwas gemeinsam: Eine oder zwei Seiten sind gerade.

 
Algebra mit Spaß lernen

 

Die Hasenpfoten-Strategie

 
 
     

Gemälde von Heinz Wenig

 

Textaufgabe:

Die Gaststätte "Zur Blauen Traube" hat als Attraktion für Kinder, anschließend an den Biergarten, große begehbare Käfige (Volieren) mit Vögeln, Hasen und Schildkröten eingerichtet. In einem Käfig sind Hasen und Fasanen. Man zählt 24 Köpfe und 62 Beine. Wie viele Tiere von jeder Art sind im Käfig?

In der Liebe und bei Textaufgaben sind alle Mittel erlaubt!

 
     
 

Hallo du! Ich glaube du warst es, der mich letztens angemailt hat und wissen wollte, wie man Textaufgaben löst. In einer Mail geht das nicht, aber hier mit wenigen Webseiten kann ich dir doch ein paar Lösungsstrategien zeigen. Nicht jede Strategie ist für jede Textaufgabe geeignet, doch mit nur etwas Übung erkennst du, welche Strategie Erfolg verspricht und am Allerbesten ist, du kombinierst sie.

In der Liebe und bei Textaufgaben sind alle Mittel erlaubt!

Was heißt das? Erstens vergiss erst mal deinen Lehrer mit seinem x-Ansatz bzw. seiner Forderung nach einer Gleichung oder Ungleichung. Das kannst du immer noch machen, wenn du die Aufgabe gelöst hast. Zweitens versuche es mit Zeichnungen und Skizzen, Tabellen, Zahlenbeispielen, Rückwärtsarbeiten und wenn es passt auch mit der Hasenpfoten-Strategie.

Klicke auf die 24 Doppelköpfe und versuche den Lösungsansatz zu verstehen. Mit Doppelklick kannst du übrigens den Ausgangszustand wieder herstellen.

 
     
 
                     
                     
 
 

Also was habe ich hier gemacht? Ja, Klasse! You got it! Ich habe mir erst einmal 24 Köpfe, d.h. 24 Doppelköpfe (Ich weiß ja nicht, sind es Hasen oder Fasanen?), gezeichnet. Denn das steht in dieser Aufgabe unabänderlich fest: Es sind bleiben 24 Köpfe. Was steht noch fest? Ganz gleich ob Hase oder Fasan, jeder hat mindestens 2 Beine. Also gebe ich jedem Kopf 2 Beine.

Aha! Aha! Aha! Dir geht eine ganze Lichterkette auf? Wie viele Beine von den 62 Beinen haben wir bereits verteilt? Genauuuu! 48 Beine sind verteilt. Wem gehören die restlichen 14 Beine? Genauuuuu! Sie sind für die Hasen! Wir wissen nicht, wie viele Hasen es sind, aber sie haben bisher nur 2 Beine und sind in diesem Zustand stark behindert. Also geben wir jedem Hasen noch 2 Beine. 14 Beine sind übrig, wie viele Hasen haben wir also? Genauuuu, 7 Hasen. Bei 24 Köpfen ist die Anzahl der Fasanen dann 17.

Soll ich dir mal etwas völlig Bescheuertes erzählen? Ein Mathematiker würde sagen, du hast diese Aufgabe mittels des Invarianzprinzipes gelöst. Ach du meine Güte! Zwei Bonbons in einer Tüte! Invarianz und Prinzip! Für Freaks, die es interessiert, erkläre ich die Fremdworte am linken Rand.

Also am Besten ist du merkst dir dieses völlig bescheuerte Wort Invarianzprinzip überhaupt nicht und belässt es bei Hasenpfoten-Strategie. Weißt du wobei ich an Hasenpfoten-Strategie denke? An Glück und an Hasenkeulen in Rotweinsoße oder Fasanen in derselbigen mit Thüringer Klößen. 'tschuldigung so'n alter Pauker denkt halt ab und zu an gutes Essen. Bei Invarianz, da denke ich an "Pfui Deibel" und zwar mit meterlangen Hörnern.

OK! Zurück zu unserer Textaufgabe! Wie finde ich heraus, ob es sich um eine Textaufgabe handelt, die ich mit der Hasenpfoten-Strategie lösen kann?

Durch 2 Schlüsselfragen!

1. Was ändert sich nicht: Die Anzahl der Füße und Köpfe
2. Was haben alle Objekte gemeinsam: Mindestens 2 Füße und einen Kopf

Also ich will dir hier die Hasenpfoten-Strategie beibringen, aber es geht natürlich auch ganz anders. Wie? Mit einer schlichten Tabelle!

 
     
 
Anzahl der Hasen
Anzahl der Hasenpfoten
Anzahl der Fasanen
Anzahl der Fasanenfüße
Anzahl der Beine insgesamt
         
1
4
23
46
50
2
8
22
44
52
3
12
21
42
54
4
16
20
40
56
5
20
19
38
58
6
24
18
36
60
7
28
17
34
62
8
32
16
32
64
9
36
15
30
66
10
40
14
28
68
11
44
13
26
70
12
48
12
24
72
13
52
11
22
74
14
56
10
20
76
15
60
9
18
78
16
64
8
16
80
17
68
7
14
82
18
72
6
12
84
19
76
5
10
86
20
80
4
8
88
21
84
3
6
90
22
88
2
4
92
23
92
1
2
94
 
     
 

Das ist natürlich eine ganz andere Strategie. Wie soll man sie nennen? Tabellen-Strategie oder Zahlenbeispiel-Strategie?

Bei allen Textaufgaben, die ich dir vorstelle, wirst du sehen, dass du sie mit verschiedenen Strategien/Methoden lösen kannst. Was du brauchst ist ein gewisser Vorrat an Lösungsstrategien und den bekommst du bei mir.

Great problem! Was ist, wenn dein Lehrer verlangt, du sollst die Textaufgabe mittels einer Gleichung oder Ungleichung lösen?

Auf alle Fälle steht die Beschreibung der Textaufgabe durch eine Gleichung bzw. Ungleichung am Ende der Problemlösung, also erst wenn du die Aufgabe gelöst hast, solltest du es versuchen. Aber es gibt ja, wie man im Fränkischen sagt, "Fregger", die sind absolut cool und versuchen es von vornherein.

Also wenn du wissen willst, wie man die Hasen-Fasanen-Aufgabe mit einer Gleichung löst, dann lies den rechten Rand.

 
     
 

Noch 'ne Aufgabe zur Hasenpfoten-Strategie: Pyramiden und Würfel

Max hat zusammen 20 Plastikwürfel und Plastikpyramiden. Die Plastikpyramiden haben eine quadratische Grundfläche. Wie viele Würfel und Pyramiden hat er, wenn er insgesamt 139 Ecken zählen kann?

 
 

Schauen wir uns erst einmal so einen Würfel genau an und zählen die Ecken. Den Würfel, den ich dir hier eingebaut habe kannst du mit der Maus drehen und außerdem die Flächen weg- und wieder hinklicken. Probiere es aus.

Unten die Pyramide kannst du genauso mit der Maus drehen und wenden und auch die Flächen weg- und wieder hinklicken. Den Schieberegler rechts, mit dem du die Höhe der Pyramide verändern kannst, brauchen wir hier nicht. Auch die Anzahl der Seitenflächen, die auf 4 steht, solltest du nicht verändern

 
 
 
     
  1. Was ändert sich nicht: Die Anzahl der Würfel und Pyramiden und die Eckenzahl.
2. Was haben alle Objekte gemeinsam: Mindestens 5 Ecken
 
     
  Jetzt solltest du mit der Aufgabe alleine klar kommen.  
     
 

Noch 'ne Aufgabe zur Hasenpfoten-Strategie: Reifenwechsel

Im Frühjahr tauschen viele Autobesitzer ihre Winterräder wieder gegen die Sommerräder. Viele lassen das in einer Werkstatt machen. Der Lehrling will seinem Meister so richtig zeigen, wie fit er ist und sagt bei Schichtschluss:

"Es wurden an 14 Fahrzeugen die Räder gewechselt. Es waren Motorräder und PKWs dabei. Insgesamt waren 40 Räder."

Wie viele Motorräder und wie viele PKWs waren dabei?

 
     
  1. Was ändert sich nicht?
2. Was haben alle Objekte gemeinsam?
 
     
 

Mit der Frage 1 "Was ändert sich nicht?" kommst du auch der folgenden Textaufgabe bei.

Vater und Sohn:

Als der Vater 31 Jahre alt war, war der Sohn 8 Jahre. jetzt ist der Vater doppelt so alt wie der Sohn. Wie alt ist der Sohn?

Zahlenfolgen:

Bestimme die nächsten drei Glieder der Zahlenfolgen und gib die jeweilige Vorschrift an:

  1. 2    6    18    54
  2. 14    7    28    56    28    112
  3. 1    1    2    3    5    8
  4. 3    12    6    24    12    48

Auch bei diesen Zahlenfolgen hilft dir die Frage "Was ändert sich nicht?"

 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:00 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

Free counter and web stats
Mit Hasen und Fasanen
kannst du strategisch planen!
 

Also gut dein Lehrer/deine Lehrerin verlangt von dir die Textaufgabe mit einem x-Ansatz bzw. einer Gleichung zu lösen. Auch das kann jede / jeder Schüler erlernen, wenn er nur will und ein paar Regeln beherrscht.

Und wenn ich sage jede/jeder, dann meine ich auch jede / jeder. Der liebe Gott hat dir ein Hirn gegeben und ich versichere dir, es funktioniert wie bei jedem Anderen. Du musst es nur ein wenig trainieren. Ich werde dir hier ein paar Kochrezepte, 'tschuldigung, ich denke schon wieder ans Essen, Matherezepte geben und manche werden einigermaßen genießbar Kochen lernen und andere werden es zur Meisterschaft bringen.

Soll ich dir mal was verraten? Der Mensch, den ich am meisten liebe, meine Frau, hat mit Mathe überhaupt nichts am Hut. Sie ist bis auf Mathe viel klüger als ich. Dein Lebensglück hängt nicht von Mathe ab. Dennoch die Mathe, die sie für ihren Beruf braucht, kann sie.

Was soll mein Gewaaf? Ich will dich einfach motivieren, es einmal zu versuchen und zu erfahren, dass du die meisten Textaufgaben genauso gut lösen kannst wie viele Andere.

OK? Los gehts!

Hier ist das Rezept für das Lösen von Textaufgaben durch eine Gleichung.

 
  1. Aufgabe verstehen
  2. Wahl der Unbekannten
  3. Aufstellen der Gleichung
  4. Lösen der Gleichung
  5. Prüfen der Lösung
  6. Antwort
 

Du wirst jetzt sagen "Gut gebrüllt Löwe", aber genau das kann ich alles nicht.

Wenn du alle die Beispiele durcharbeitest, die ich dir hier und auf den anderen Seiten zu den Textaufgaben vorstelle, dann kannst du es. Ja, wirklich!!!

 
  1. Aufgabe verstehen

Diesen Punkt haben wir schon hinter uns.

In der Liebe und bei Textaufgaben sind alle Mittel erlaubt!

Durch Zeichnungen und Skizzen, Tabellen, Zahlenbeispiele, Rückwärtsarbeiten, und wenn es passt auch mit der Hasenpfoten-Strategie, hast du ja die Textaufgabe schon gelöst oder zumindest verstanden, was von dir erwartet wird.

 
  1. Wahl der Unbekannten

Überlege dir gut welche "Größe" du als Unbekannte wählst. Manchmal gibt es nur eine sinnvolle Wahl für die Unbekannte und manchmal kannst du verschiedene Größen als Unbekannte wählen.Oft steht die Unbekannte (ist der Platzhalter / Variable) für das, was im Aufgabentext gesucht ist. Die Unbekannte muss nicht unbedingt x heissen. Manchmal sind auch andere Namen für die Unbekannte sinnvoll.

Schreibe unbedingt hin was deine Unbekannte bedeutet und sei dabei so genau wie möglich!

Bei unserer Aufgabe haben wir nun die Auswahl, ob wir die Anzahl der Hasen oder die Anzahl der Fasanen als Unbekannte x wählen. Du meinst, ich solle das Erste nehmen? Also schreiben wir hin was die Unbekannte x bedeutet.

x = Anzahl der Hasen

Schlecht und ungenau wäre es, wenn du schreiben würdest:

x = Hasen

 
  1. Aufstellen der Gleichung

Suche zunächst nach einem Titel für deine Gleichung.

Der Titel sagt in Worten das Gleiche, wie die Gleichung in der mathematischen Sprache sagt.

Ein schlechter Titel wäre:

Berechnung der Hasenzahl

Besser ist:

Anzahl der Hasenpfoten + Anzahl der Fasanenfüße = 62 Beine

oder:

62 Beine - Anzahl der Hasenpfoten = Anzahl der Fasanenfüße

oder:

62 Beine - Anzahl der Fasanenfüße = Anzahl der Hasenpfoten

x = Anzahl der Hasen
24 - x = Anzahl der Fasanen

4 • x = Anzahl der Hasenpfoten

(24 - x) • 2 = Anzahl der Fasanenfüße

So und jetzt nehmen wir einen unserer Titel und bauen die Gleichung.

4•x + (24 - x)•2 = 62

4•x + 48 - 2•x = 62

2•x + 48 = 62

2•x = 14

x = 7

Es sind 7 Hasen und 17 Fasanen im Käfig.

Auf das Prüfen der Lösung habe ich hier verzichtet, weil wir ja schon wissen, dass das Ergebnis richtig ist.