Höre dir an was Katrin zu sagen hat. Hat nun Katrin recht oder unrecht? Dürfen unter dem Wurzelzeichen wirklich nur positive Zahlen stehen? Befragen wir doch unseren supertollen Taschenrechner. Tippe bitte ein . Eigentlich müsste er jetzt "Error" melden. Aber Pustekuchen! Er gibt "2i" an. Was ist denn das? Tja, der Taschenrechner ist doch nicht so toll. Er weiß nämlich nicht zwischen Realschüler und Gymnasiast zu unterscheiden. Für einen Realschüler ist reiner Quatsch und für einen Gymnasiasten eben "2i". Wie pflegte meine Mutter zu sagen: Es gibt noch Dinge zwischen Himmel und Erde über die man sich nur wundern kann. Sie hätte eine negative Quadratzahl sicher dazu gerechnet. Aber die negative Quadratzahl ist kein Ding zwischen Himmel und Erde, sondern zwischen Mittlerer Reife und Abitur. OK, an der Stelle hier kann ich dir das noch nicht erklären, doch sobald du das Rechnen mit Wurzeln gelernt hast, komme ich auf die negative Quadratzahl und ihre Wurzel zurück.
Katrin sagt und ich sage auch: Die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen ist an der Realschule nicht möglich. Für dich ist reiner Quatsch. Alles klar?
Was bedeutet nun der 2. Satz: Die "Quadratwurzel" aus a ist die nicht negative Zahl x, die beim Quadrieren a ergibt? Auch hier ist von "nicht negativen Zahlen" die Rede. Es hat überhaupt nichts damit zu tun, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Was also bedeutet es?
Die Schreibfigur bedeutet ja eigentlich eine Frage: Welche Zahl muss man quadrieren, damit 49 das Ergebnis ist?
7² = 49 aber auch (-7)² = 49. Was soll nun bedeuten? Soll es 7 sein oder -7 oder beides? Man hat sich aus Gründen, die ich dir am Rand erkläre, dafür entschieden, die nicht negative Zahl zu nehmen. Also gilt: = 7. Jede andere Entscheidung führt zu Absurditäten (siehe Rand). Wenn du dir meine Argumente am Rand angeschaust hast, wirst du verstehen, warum die Mathematiker sagen:
Die Schreibfigur stellt nur die Zahl 7 dar. Nur so lässt sich sinnvoll rechnen. Man hätte der Schreibfigur natürlich auch die negative Zahl zuordnen können. Doch die ganze Wurzelrechnerei würde völlig anders ausschauen.
Welche Auswirkungen die Festlegung der Mathematiker auf die positive Zahl hat, wollen wir uns jetzt etwas näher betrachten.
Festgelegt ist für alle Ewigkeit: = 7 und = 6, und ebensolches gilt für alle anderen Wurzeln.
Beschäftigen wir uns einmal mit ein paar einfachen Gleichungen z.B. mit x² = 49. Mit welchen Zahlen darfst du x belegen, damit diese Gleichung stimmt? Was darfst du einsetzen? Was sind die Lösungen?
Mit x² = 49 gilt x1 = 7 oder x2 = -7. Benutzen wir unsere Schreibfigur, dann folgt:
x² = 49 ==> x1 = + und x2 = - 
x² = 36 ==> x1 = + und x2 = - 
x² = 2 ==> x1 = + und x2 = - 
Ich sehe es deinen glasigen Augen an, dass du dabei bist dich auszuklinken. Bleibe hier und hör dir Katrin an. Katrin hat Recht. Was für die Zahlen 49 und 36 gilt, muss auch für alle Zahlen gelten. Wenn das Wurzelzeichen nur auf Quadratzahlen anzuwenden wäre, würde es ziemlich sinnlos sein, d.h. wenn es eine nicht gibt, können wir die Wurzeln vergessen. Es wären exotische Sonderfälle. Du ahnst es schon. Es gibt die und das will ich dir jetzt zeigen. Was das für eine Zahl ist, das ist ist eine ganz andere Frage und die beantworte ich noch nicht. Hier geht es nur um die Existenz von . Quadratzahlen haben die schöne Eigenschaft, dass man sie durch ein Quadrat veranschaulichen kann.
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