Figurine12
 
 
 
 

 

Fortsetzung vom rechten Rand

 

Also was habe ich bisher erreicht? Ich habe noch keine Rechnung gefunden, die sich nicht ausführen lässt und ich habe eine Darstellungsweise für meine Summen gefunden. Doch ich probiere lieber noch etwas weiter.

(3+i)*(-2+3i)=
-6+9i-2i+3i²=
-6+7i-3=
-9+7i

Das ist ja phantastisch! Wenn ich zwei solche Summen multipliziere, dann kommt wieder ein zweigliedriger Term heraus. Wieder ein Punkt in meiner Zahlenebene. Wenn das jetzt auch mit der Division klappt, dann habe ich es geschafft. Ich scheiß drauf zu wissen, was ist. Hauptsache ich kann damit rechnen. Also gut noch ein letzter Versuch.

(3+i) : (2-5i) =

Zwei Klammern zu multiplizieren war eine leichte Übung, doch um Himmels Willen, was ist das? "

Der Mathematiker nahm einen sehr beachtlichen Schluck aus seinem Seidla, lehnte sich zurück, lauschte den Vögeln und versank in ein tiefes Nachdenken.

"Wie kann ich zwei so merkwürdige Terme dividieren? Es soll ein zweigliedriger Term herauskommen, ein Term, der sich aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl zusammensetzt. Denn es muss zu dem Ergebnis einen Punkt in der Zahlenebene geben. Stelle ich mir den Quotienten einmal als Bruch vor:

Wenn ich im Nenner kein "i" mehr hätte, wäre es vollbracht."

Der Mathematiker nahm abermals einen tiefen Schluck aus dem Seidla, d.h. er wollte es.

"Mist, schon wieder leer. Nachdenken kostet Bier. Aber erst bringe ich es zu Ende und dann gönne ich mir noch ein Seidla als Belohnung. Ich habe einen zweigliedrigen Term, der eine Wurzel enthält. Was habe ich da gelernt? Hier hilft nur die 3.Binomische Formel.

=

=

=

=

Ach du meine Güte, ich habe wieder einen zweigliedrigen Term mit einem reellem Anteil und einem imaginären Anteil. Auch das ist ein Punkt in meiner Zahlenebene. Anscheinend ist es so, ganz gleich welche Rechenart ich anwende, es entsteht immer ein zweigliedriger Term, na ja, manchmal auch ein eingliedriger Term. Ich habe neue Zahlen entdeckt. Vorsicht! Ich muss vorsichtig sein. Ich kann beschreiben wie man mit diesen Zahlen rechnet. Aber Scheiße, ich weiß immer noch nicht was wirklich ist"

Anmerkung:

Wenn du einen Mathematiker fragst, was ist denn , dann wird er dir sagen, das ist die Zahl i. Ich weiß genau, was Du sagst: "Scheiß Trickser. Immer dasselbe, wenn sie nicht weiter wissen erfinden sie neue Zahlen." Aber wenn sich diese "getricksten" Zahlen in die Rechengesetze einfügen, dann existieren sie. Und diese Zahlen, die sich aus einem reellem Anteil und einem imaginärem Anteil zusammensetzen, nennt man komplexe Zahlen. Aber ich habe eine gute Nachricht für dich: An der bayerischen Realschule existieren keine komplexen Zahlen, aber auf deinem Taschrechner. Bitte berücksichtige dies.

 

 

 
Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Wurzelbehandlung völlig schmerzfrei 4
Rechnen in der Menge der Reellen Zahlen I
 
     
 

Katrin Hallo du, ja auch von mir ein Servus. Du hast es ja schon von Katrin gehört, es geht zunächst einmal um Summen und Differenzen, um Addieren und Subtrahieren. Du rechnest und wir schauen zu, stellen Fragen und versuchen einige Erkenntnisse in deinem Hirn zu verankern. Wiederholen wir erst noch einmal, was nicht geht. Wie immer rechnest du zunächst selber und blendest dann mit Mausklick auf den Term die Lösung ein.

Aufgabe 1:

Berechne und vergleiche die Ergebnisse. Was stellst Du fest ?

 
     
 
a)
   
b)
 
     
 
c)
   
d)
 
     
   
     
 
Katrin
 
 

 

 
 

So, wir haben dir gezeigt, dass du eine Wurzel bei den Strichrechnungen Addition und Subtraktion nicht auseinandernehmen bzw. zusammenfügen kannst. Katrin hat recht, dieses Verbot muss sich dir ins Hirn einbrennen. Wenn du es trotzdem versuchst, sollte dein Hirn eine Riesenhaufen Hundescheiße in dein Bewusstsein einblenden, damit du dich an das Verbot erinnerst. Bis wir zu den Punktrechnungen kommen, muss das mit dem Einblenden klappen. Dort ist es nämlich anders. Aber das hat noch Zeit.

So und jetzt werden wir Äpfel und Birnen addieren und subtrahieren. Doch das geht.

Aufgabe 2:

 
 

 

 
  5 - 2 + 3 = 6  
 

 

 
 
a)
 
     
  2 - 3 + 5 = 7 - 3  
     
 
b)
 
     
  2+5 ++3 = 3+8  
     
 
c)
 
     
 
d)
e)
 
     
 
f) g)
 
     
 
h) i)
 
     
 
l) m)
 
     
 
n)    
 
     
 
o)
 
     
 
Du kannst nur gleichartige Wurzeln zusammenfassen!
 
     
     
 

Bist du noch gut drauf? Oder schwächelst du schon? Eigentlich haben wir doch noch gar nicht so viel gemacht. Wir haben dir gezeigt, was bei den Wurzeln nicht geht und ein wenig, was geht. Nämlich das Zusammenfassen gleichartiger Wurzeln. Ich mache dir einen Vorschlag. Du machst 20 Minuten Pause und dann geht es weiter. Ich versuche inzwischen die nächste Aufgabe in Reime zu fassen. Reimen ist nämlich neben Mathe auch eine meiner Leidenschaften.

 
     
 
Katrin

Der Faktor und die Faktorin
sitzen in der Wurzel drin.
Will einer von den Beiden
sich vom Andern scheiden,
kopiert er schnell das Wurzelzeichen,
um sich damit davon zu schleichen.

 
     
 

Du bist wieder da? Aber du verstehst die Aufgabe nicht? Also gut formulieren wir sie etwas verständlicher.

Aufgabe 3:

Berechne und vergleiche die Ergebnisse. Was stellst Du fest ?

 
     
 
a)
   
b)
 
     
 
c)
   
d)
 
     
   
     
  Ich hoffe, und Katrin natürlich auch, du siehst den Unterschied zu den Strichrechnungen. Was dort nicht geht, das geht hier. Bei Produkten und Quotienten kannst du die Wurzeln zusammenfügen bzw. auseinandernehmen. Wenn du dies ein wenig übst, erleichtert dir dies das Rechnen mit Wurzeln ungemein. Bei dir rechnet der Taschenrechner?  
 

Du denkst viel zu kurz. Was machst du, wenn du unter der Wurzel einen Term mit Variablen hast? Da nützt dir dein Taschenrechner einen feuchten Kehrricht (= Dreck).

Es ist demnach ziemlich wichtig für dich, wenn du die beiden Wurzelgesetze oben einübst und ihre Nützlichkeit kennenlernst. Webtechnisch läuft die nächste Aufgabe genauso wie die Aufgaben oben. Mit Mausklick blendest du den Lösungsweg ein. Schau dir zwei Aufgaben an, dann verstehst du was du machen musst.

Aufgabe 4:

Vereinfache soweit wie möglich (alle Variablen sind aus + ) . Mit ein wenig Übung solltest du die Aufgaben im Kopf rechnen können.

 
     
 
a) = b) =
 
     
 
c) = d) =
 
     
 
e) = f) =
 
     
 
g) = h) =
 
     
 
i) =    
 
     
 
k) =    
 
     
 
l) =    
 
     
 

Du fragst, ob man das nicht kürzer machen kann. Du hast Recht, der vorletzte Schritt ist eigentlich überflüssig. Du kannst ihn weglassen. Unter der Wurzel stehen 2 Quadrate. Du musst nicht noch einmal das 1. Wurzelgesetz anwenden und die Wurzel auseinandernehmen.

Merke: Wenn unter der Wurzel ein Produkt aus Quadraten steht, kannst du aus den Quadraten sofort die Wurzel ziehen.

Schauen wir uns die Aufgabe l) noch einmal an. Du kannst gleich schreiben .

Warum? Schau her! .

Können wir also für den Rest der Aufgabe 4 so verbleiben, dass ich den vorletzten Schritt jetzt weglasse? Also, wenn unter der Wurzel nur ein Produkt aus Quadraten steht, dann ziehe ich sofort die Wurzel. Ich spalte den Herrn Faktor und die Frau Faktorin nicht mehr in Einzelwurzeln auf. Weiter geht's und jetzt mache ich es so.

 
     
 
m) =  
 
     
 
n) =    
 
     
 
o) =    
 
     
 
p) =    
 
     
 
q) =    
 
     
 
r) = s) =
 
     
 
t) = u) =
 
     
 
v) = w) =
 
     
 
x) = y) =
 
     
  Für heute reicht es. Aber ich hatte dir ja versprochen zu erklären, was dein Casio GTR meint, wenn er für = 2i ausgibt. Nachdem wir die beiden Wurzelgesetze besprochen haben, kann ich es endlich machen. Lies die Geschichte im rechten Rand und noch etwas im linken Rand. Ansonsten treffen wir uns übermorgen. Katrin will einen ausgedehnten Ausflug in den Cyberspace machen, sie hat da jemand kennengelernt. Irgendwie werde ich eifersüchtig. Und ich? Ich muss mich mal um den Frühjahrsputz kümmern.  
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:02 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Die eingebildete Wurzel

Es war einmal vor langer Zeit, da saß ein Mathematiker an einem heißen Sommertag am späten Nachmittag im Schatten seiner Gartenlinde. Vor ihm auf dem hölzernen, runden Gartentisch lag ein Blatt Papier und ein Stift. In seiner Reichweite stand noch ein Seidla kühlen fränkischen Bieres. Sonst war nichts auf dem Tisch. Der Mathematiker blickte nachdenklich auf das Blatt Papier. Das Blatt war nahezu vollständig leer. Nur eine winzige Gleichung stand darauf:

x² = - 4

"Ich weiß, das Ding ist eigentlich Quatsch, aber warum soll es verboten sein mit Quatsch zu spielen. Hätte ich die Gleichung

x² = 4

wären die Lösungen x1 = + und x2 = - . Nehme ich an, es gäbe Lösungen für x² = -4, dann müsste ich sie auch als Wurzel schreiben können.

x1 = + und x2 = -

Was zum Teufel ist ? Na gut, ich kann ja folgendes machen:

=

Ich habe es ja gleich gewusst, das Problem ist viel kleiner als angenommen. Ich muss nur noch herausfinden was ist, aber was zum Kuckuck ist es?"

Der Mathematiker nahm einen tiefen, nachdenklichen Zug aus seinem Seidla und leerte es bis auf den Grund, dann versank er in tiefes, tiefes Nachsinnen. Da, plötzlich sprang er mit blitzenden Augen auf: " Das ist es! Haben wir nicht dasselbe Problem gehabt, als wir nur die Ganzen Zahlen kannten? Da gabe es auch Gleichungen, die wir einfach nicht lösen konnten.

5x = 3

Damals haben wir auch gedacht: Die Lösung wäre x = 3 : 5, aber was ist das? Nie und nimmer eine ganze Zahl. Wir haben dafür eine Schreibfigur erfunden und so getan, als wäre das eine Zahl. Wenn das eine Zahl ist, haben wir uns gesagt, dann müssen wir mit ihr rechnen können wie bisher, und wir haben es ausprobiert. Es hat funktioniert. Die Bruchrechnung war erfunden und die rationalen Zahlen gefunden. Hier könnte es doch genauso sein. Ich weiß zwar nicht was ist, doch wenn es eine Zahl ist, müsste man mit ihr rechnen können wie bisher. Teufel auch, das muss ich ausprobieren, aber dazu brauche ich noch ein Seidla."

Der Mathematiker ging eiligen Schrittes, immer wieder auflachend, das leere Seidla triumphierend schwenkend, ins Haus. Strahlend kehrte er voller Hoffnung und Erwartung mit dem gutgefüllten Seidla zurück. Die weiße Schaumkrone leuchtete und versprach: Du wirst es schaffen.

Er setzte sich, griff nach dem Stift und begann zu schreiben. Nach einigen Zeichen legte er den Stift wieder aus der Hand. "Es ist einfach lästig und völlig unübersichtlich immer wieder zu schreiben. Ich muss mir etwas anderes ausdenken. Aber was? Bis jetzt bilde ich mir nur ein, das eine Zahl sei. Könnte ich nicht den Buchstaben "e" als Abkürzung für nehmen? Für eingebildete Zahl? Nein, "e" ist die Abkürzung für die Eulersche Zahl. Nehmen wir doch etwas Lateinisches. Ist sowieso besser als wenn ich von eingebildeten Zahlen rede. Die stecken mich sonst in die Klappsmühle. Für diese Zahlen, so sie denn wirklich existieren, braucht man Phantasie, sie sind voller Geheimnisse, voller Imagination. Halt! Das ist es! Imagination! Ich nenne diese Zahlen, so sie denn existieren, Imagininäre Zahlen. Und als Kürzel für verwende ich den Buchstaben "i". Also versuchen wir die einzelnen Rechenarten."

Der Mathematiker begann wieder zu schreiben und das Blatt füllte sich.

x² = - 4

x1 = + 2 = 2i

x2 = - 2 = - 2i

i * i = * = -1

"Das Quadrat i² = -1 ist ja höchst interessant, aber was ist z.B. 3+i?" Der Mathematiker hielt inne mit dem Füllen seines Blattes und begann wiederum tief nachzudenken. "Ich weiß nicht, was 3 + i ist. Das einzige was ich weiß, es ist eine Summe. Mit Summen kann ich doch umgehen!

(3+i) + 4 = 7 + i

( 3+i) - 7 = -4 + i

(3+i)*2 = 6 + 2i

(3+i):2 = 1,5 + = 1,5 + 0,5i

Mensch, das klappt ja alles wunderbar. Aber wie stelle ich diese Zahlen dar? Es sind ja Zahlen, die eine Summe aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl darstellen und ich habe nur eine Zahlengerade auf der eine nicht existiert. Ha, das ist doch wie bei den Vektoren! Zwei Zahlen, zwei Komponenten oder zwei Koordinaten. Das ist es! Ich stelle diese Summen aus einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl in einem Koordinatensystem dar. Die x-Achse stellt die Reellen Zahlen dar und die y-Achse die Imaginären Zahlen.

 

 

Meine Güte ist das wunderbar. Statt einer Zahlengeraden habe ich jetzt eine Zahlenebene. Aber ich weiß immer noch nicht was ist. Na ja , die Hauptsache ist, ich kann rechnen.

(3+i) + i = 3 + 2i

(3+i) - i = 3

(3+i)*i = 3i+i² = 3i+(-1)=3i-1

(3+i):i = +1= +1=-3i+1

(3+i) + (2+4i)= 5 + 5i

(3+i) +(-4-5i) = -1 - 4i

Fortsetzung im linken Rand