Figurine12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Parabellissima 3
Normalform y = x2 + px + q von Normalparabeln
 
     
 

Eile mit Weile, heute kommen wir endlich zur dritten Zeile. Servus! Schön, dass du da bist! Was ich meine? Ich rede vom Arbeitsblatt (Applet) auf der letzten Seite. Wir werden es heute wieder brauchen. Deswegen habe ich es unten auch wiederum eingebaut und wir werden es noch öfters brauchen.

Was ist die 3. Zeile? Was stellt sie dar?

Die 3.Zeile beschreibt dieselbe Parabel wie die 2. Zeile. Die Gleichung schaut nur völlig anders aus. Der Parabelterm besteht aus 3 Teilen. Wenn du das Arbeitsblatt unten in der Anfangsstellung hast, d.h. roter Schieberegler auf "1", und den Scheitel S auf (4/0), dann wird Gleichung in der Normalform angezeigt:

 

 
 
y =
x2
- 8 x
+ 16
 
quadratisches Glied
lineares Glied
konstantes Glied
       
y =
x2
+ px
+ q
       
 
mit
p = - 8
q = 16
 
     
 

Du verstehst die Namen der Einzelteile nicht? Seufz! Na gut, das quadratische Glied heißt "quadratisch", weil die x-Werte, die du einsetzt, quadriert werden. Das lineare Glied heißt linear, weil, wenn du es getrennt betrachtest, z.B. oben y = - 8x, es ein Geradenterm ist. Der Term - 8x beschreibt, für sich betrachtet, eine Ursprungsgerade. Und q, das konstante Glied, heißt so, weil es eben konstant ist, egal was du für x einsetzt. Alles klar?

Wenn du jetzt den Scheitel mit der Maus ziehst, dann siehst du wie sich die Beizahl ( = Koeffizient) "p" und die Konstante "q" ändern.

+Z zwischen den Scheitelkoordinaten und den Zahlen "p" und "q", besteht sicherlich ein rechnerischer Zusammenhang. Aber welcher?

Und an dieser Stelle will ich mir Zeit lassen, und dir eine Methode vorführen dieses Problem zu lösen, die du immer anwenden kannst. Weißt du wie die Methode heißt? Sie heißt systematisches Probieren mit Zahlenbeispielen. Mit dem Arbeitsblatt unten ist es auch ohne großen Rechenaufwand möglich diese Methode durchzuführen.

Du schiebst mit der Maus das Arbeitsblatt soweit zur Seite, dass der rechte Rand freiliegt. Dort geht es dann weiter.

 
     
 
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3
4
5
         
 
 
 
 
   
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So und jetzt will ich mal sehen, wie gut dein Gedächtnis ist. Schiebe das Arbeitsblatt wieder über den rechten Rand. So dass du dort nicht mehr spicken kannst. Gib mir dann eine Zusammenfassung dessen, was wir gerade gemeinsam erarbeitet haben. Danach klickst du unten auf "Ergebnis" und vergleichst deine Zusammenfassung mit meiner.

Ergebnis:

 
     
   
     
 

Aufgabe 1:

Bestimme die Scheitelkoordinaten folgender Parabeln. Mit Mausklick auf die Parabelgleichung wird die Lösung eingeblendet.

 
     
 
a) y = x2 + 8x + 12 b) y = x2 + 2x - 10
       
c) y = x2 - 6x + 8 d) y = x2 + 5x + 6,25
       
e) y = x2 - 8x + 13,25 f) y = x2 - 5x + 7,75
 
     
     
  Diese Aufgabe hättest du auch mit deinem GTR lösen dürfen, denn es heißt "bestimme" und nicht "berechne". Immer wenn es heißt "bestimme", dann darfst du den GTR nehmen. Du musst aber kurz dokumentieren, wie du zu dem Ergebnis gekommen bist. Doch auch wenn es heißt "berechne", solltest du dein Ergebnis mit dem GTR kontrollieren. Wie man einen Scheitel mit dem Casio-GTR bestimmt, siehst du im rechten Rand oben.  
     
     
 

Beispiel:

Die Punkte A(4 / 5) und B(0,5 / 3,25) liegen auf einer Normalparabel. Bestimme die Gleichung der Normalparabel.

Diese Aufgabenstellung sollte dir noch von den Geraden (linearen Funktionen) her bekannt sein. Was ist zu tun? Du musst mit Hilfe der Punkte A und B die Zahlen "p" und "q" bestimmen. Aber wie? Richtig! Du musst die Koordinaten von A und B in die Normalform der Parabelgleichung einsetzen

 
     
 
y =
x2 + px + q | A eingesetzt
y =
x2 + px + q | B eingesetzt
       
5 =
42 +4p + q | - 16
3,25 =
0,52 + 0,5p + q | - 0,25
       
- 11 =
4p + q | - 4p
3 =
0,5p + q | - 0,5p
       
- 11 - 4p =
q
3 - 0,5p =
q
       
Was Du erhältst ist ein lineares Gleichungssystem, das Du am besten mit dem Gleichsetzungsverfahren löst.
       
- 11 - 4p =
3 - 0,5p | + 4p
- 11 - 4p =
q | p = - 4 eingesetzt
       
- 11 =
3 + 3,5p | - 3
- 11 - 4•(- 4) =
q
       
- 14 =
3,5p | : 3,5
- 11 + 16 =
q
       
p =
- 4
q =
5
       

Die Lösung für p setzt du in eine der beiden Gleichungen oben ein (siehe rechts).

=> Parabelgleichung p: y = x2 - 4x + 5

       

 

 
 

Aufgabe 2:

Die Punkte A und B liegen auf einer Normalparabel. Bestimme die Gleichung der Normalparabel. Die Lösung wird wie immer mit Mausklick eingeblendet

 

 
 
a) A (2 / - 1); B (- 1 / 2)  
     
b) A (- 1,5 / - 0,75); B (1 / 8 )  
     
c) A (0,5 / 2,25); B (4 / 4)  
 
     
 

Aufgabe 3:

Von einer Normalparabel p ist mit S (2 / yS) nur eine Scheitelkoordinate bekannt. Außerdem liegt der Punkt A (- 1 / 6) auf der Parabel p.

Bestimme die Gleichung von p und die fehlende Scheitelkoordinate.

Lösung:

 

 
   
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:30 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Du sollst mit Deinem Casio-GTR den Scheitel einer Parabel bestimmen. Es ist kinderleicht! Wirklich! Du gehst in das Menü GRAPH und gibst dort Deine Funktionsgleichung ein (siehe Parabellissma 1)
 
 

Oben in der 1. Zeile muss als Typ "y =" stehen. Falls nicht, wähle "TYPE" mit F3 und ändere die Einstellung. Dann zechnest Du den Graphen mit F6 (DRAW).

 

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Beispiel:

Bestimme mit dem Casio-GTR die Schnittpunkte der Parabel p

y = x2 - 4x + 3

mit den Koordinatenachsen.

Im GRAPH-Menü gibst du den Funktionsterm ein.

 
 
Mit F6 wählst du "DRAW"!
 
 
Mit F5 wählst du "G-Solv"!
 
 

Wie du siehst, gibt es zwei Nullstellen = Schnittpunkte mit der x-Achse und einen Schnittpunkt mit der y-Achse.

Mit F1 wählst du "ROOT" (= Wurzel)! Es hat aber nichts mit unserer Wurzel zu tun. Es bedeutet "Nullstelle".

 
 
Es wird zunächst die linke Nullstelle angezeigt. Zur rechten Nullstelle kommst du, wenn du auf die Pfeiltaste nach rechts drückst.
 
 

Zum G-Solv Fenster kommst du zurück, wenn Du F5 "G-Solv" drückst.

Mit F4 wählst Du "Y-ICPT". (ICPT = intercept = Schnittpunkt)

 
 

Dokumentation des Lösungsweges:

Graph: y = x2 - 4x + 3 => F6-F5

=> mit F1 => Nullstellen A(1/0) und B(3/0)

=> mit F4 Schnittpunkt C(0/3) mit Y-Achse

 

Aufgabe 4:

Bestimme mit dem Casio-GTR die Schnittpunkte der Parabel p mit den Koordinatenachsen. Lösungen von mir gibt es keine. Nimm deinen GTR.

 

a) y = x2 + 2x

b) y = x2 - 6x + 5

c) y = x2 - 5x + 6,25

d) y = x2 - 3x - 1,25

e) y = x2 + x + 2,25