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Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Parabellissima 7
Funktionale Abhängigkeiten
 
     
 

Hallo du! Grüß' dich ! Ich sehe du bist fleißig. Heute geht es um Aufgaben zum Thema "Funktionale Abhängigkeiten bei Parabeln". Keine Angst, das klingt nur so bombastisch. Du hast schon solche Aufgaben bearbeitet z.B. die Aufgabe 1 auf der letzten Seite.

Alle diese Aufgaben laufen nach demselben Muster ab. Die Größe einer Fläche oder die Länge einer Strecke ist von der x-Koordinate eines Punktes abhängig. Unten in der Aufgabe ist es die x-Koordinate des Punktes C. Je nach Wahl von xC verändert sich unten die Dreiecksfläche. Auch die Aufgabenstellung ist eigentlich immer ähnlich. Du sollst die Länge oder die Fläche in Abhängigkeit von x darstellen. Dies läuft meist immer auf einen quadratischen Term hinaus. Danach sollst du entweder den Extremwert bestimmen oder für z.B. eine bestimmte Flächengröße den zugehörigen x-Wert ausrechnen.

Aufgabe 1:

Die Dreiecke ABnCn sind festgelegt durch A (0 / 0), Bn (8 / -0,5xC) und
Cn (xC / - 0,5xC2 + 4xC). Ihr Flächeninhalt verändert sich mit der Lage der Punkte Bn und Cn. Rechts neben dem Arbeitsblatt geht es weiter.

 
     
 
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Nr. 1
 

Überlege zuerst, auf welcher "Linie" die Punkte Cn und Bn liegen müssen. Verändere dann dein Dreieck indem du den Schieberegler oben hin und her ziehst. Was beobachtest du?

Der Flächeninhalt des jeweiligen Dreiecks wird angezeigt. Gibt es einen größten Flächeninhalt?

a) Berechne den Flächeninhalt A aller Dreiecke in Abhängigkeit von x.

Ich lasse von hier ab die Bezeichnung xC weg und spreche nur noch von x. Das musst du nämlich normalerweise selbst erkennen, was x bedeutet.

b) Bestimme den Flächeninhalt und den zugehörigen x-Wert für das flächengrößte Dreieck.

c) Für welche Werte von x erhältst du überhaupt Dreiecke ABnCn mit dem richtigen Umlaufsinn?

Du erinnerst dich an die Aufgabe 1 auf der letzten Seite? Die Aufgabe mit dem Flächeninhalt eines Parallelogramms? Alles was ich dort zur Determinantenmethode gesagt habe, gilt hier natürlich auch. Wenn du glaubst, ich wiederhole hier alles zu deiner Bequemlichkeit noch einmal, dann bist du schief gewickelt. Gehe zurück und wiederhole es dort.

 
 
 
     
 

Aufgabe 2:

Die Punkte A, B, Cn und D auf der Parabel p bilden eine Menge von Vierecken ABCnD. Die Punkte Cn bewegen sich dabei zwischen B und D. Form und Flächeninhalt der Vierecke hängen von der Abszisse x der Punkte Cn ab.

Es gilt: A (- 4 /- 3); B (6 / 2); Cn (x / y); D (- 2 / 2); p mit y = - 0,25 x² + x +5

 
     
 
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Nr. 1
 

a) Fertige eine Zeichnung für x = 4 an. Welches besondere Viereck entsteht? Bestätige durch Rechnung.

b) Zeige, dass sich der Flächeninhalt A der Vierecke wie folgt darstellen lässt:

A(x) = (-x² + 4x + 32) FE

c) Ermittle den Extremwert des Flächeninhalts.

 

zu a) Gelegentlich solltest du mal wieder etwas selber zeichnen, sonst verlernst du es noch ganz. Na gut ich überlasse es dir.

In dieser Aufgabe ist alles abhängig von der x-Koordinate des Punktes C. Stelle den Schieberegler auf 4. Was für ein Viereck entsteht?

Es ist ein Trapez, oder genauer, es ist ein allgemeines Trapez. Wie kannst du dies nachweisen? Du musst eine Eigenschaft des allgemeinen Trapezes benutzen. Wann ist ein Viereck ein Trapez? Richtig! Wenn zwei Seiten parallel sind. Du musst nachweisen, das Strecke [AB] parallel zu Strecke [CD] ist.

 
 
 
     
 

Die nächste Aufgabe ist so gestellt, wie Du sie in einem Lehrbuch oder in einer Prüfung vorfinden würdest.

 
     
 

Aufgabe 3:

Die Parabel p ist der Graph der Funktion f mit der Gleichung y = - 0,25 x² + 3x + 1 und der Grundmenge x .

 

 
 
a)

Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel p. Zeichne die Parabel p in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; - 2 < x < 14; - 3 < y < 11

   
b) Die Punkte Bn und Cn liegen auf der Parabel p und sind zusammen mit A (5 / 1) Eckpunkte von Dreiecken A BnCn. Dabei ist die Abszisse der Punkte Cn jeweils um 4 kleiner als die Abszisse x der Punkte Bn. Zeichne das Dreieck AB1C1 für x = 13 sowie das Dreieck AB2C2 für x = 3,5 in das Koordinatensystem zu a) ein.
   
c) Stelle die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte Bn dar. [Ergebnis: Cn (x - 4 / - 0,25 x² + 5x - 15)]
   
d) Stelle den Flächeninhalt A (x) der Dreiecke A BnCn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn dar. [Ergebnis: A (x) = (0,5 x² - 7x + 40] FE
   
e) Berechne die Koordinaten der Punkte B0 und C0, die zum Dreieck A B0C0 mit dem kleinsten Flächeninhalt Amin gehören, und gib Amin an.
 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:31 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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