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Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Parabellissima 10
Quadratische Gleichungen
 
     
 

Erinnerst du dich ans Wurzelziehen? Grüß Gott erst einmal. Damals hast du schon quadratische Gleichungen gelöst. Es waren zwar nur ganz einfache quadratische Gleichungen, aber es waren welche z.B.

x² = 9 mit den Lösungen x1 = + = 3 und x2 = - = - 3

 
     
 

Solche einfachen quadratischen Gleichungen wie oben nennt man reinquadratische Gleichungen und du löst sie durch Wurzelziehen. Das wirft aber gleich die Frage nach der Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen auf.

x² = 0 hat eine Lösung x = 0

x² = - 4 hat keine Lösung

Wir halten fest: Quadratische Gleichungen haben zwei, eine oder keine Lösungen. =>

Dein Casio-GTR zeigt aber mit eine Lösung an? Ja, ja schon gut, für dich ist das keine Lösung. Warum und weshalb, habe ich Dir bei der Behandlung der Reellen Zahlen bereits erklärt.

Wie löst du nun gemischt-quadratische Gleichungen wie z.b. 2x² - 6x - 8 = 0 ? Solche Gleichungen haben wir schon zusammen gelöst. Du erinnerst dich? Du bestimmst einfach die Nullstellen der Funktion y = 2x² - 6x - 8 mit dem GTR:

GRAPH y = 2x² - 6x - 8; F6, F5 und F1 (ROOT) => x1 = - 1 und x2 = 4

Die Nullstellenbestimmung mit dem GTR kannst du immer benutzen, zumindest um deine rechnerischen Lösungen zu kontrollieren. Wie löst man aber die Gleichung oben rechnerisch?

1.Möglichkeit: Du lässt dir viel, viel Zeit bei einer quadratischen Ergänzung.

2. Möglichkeit: Du benutzt die Lösungsformel.

 
 
 
 

2x² - 6x - 8 = 0 | : 2

x² - 3x - 4 = 0

x² - 2 • 1,5x - 4 = 0

x² - 2 • 1,5x + 1,5² - 1,5² - 4 = 0

(x - 1,5)² - 2,25 - 4 = 0

(x - 1,5)² - 6,25 = 0 | + 6,25

(x - 1,5)² = 6,25 |

x - 1,5 = 2,5 | + 1,5

x1 = - 1 und x2 = 4

 

mit a = 2; b = - 6; c = - 8 und der Formel rechts gilt:

x1/2 =

x1/2 =

x1 = - 1 und x2 = 4

 

ax² + bx + c = 0 | : a

x² + x + = 0

x² + x + - + = 0

(x + )² - + = 0

(x + )² - = 0 | +

(x + )² = |

x + = | -

x1/2 = -

 
 

Unten im Arbeitsblatt ist noch einmal die Lösung mit der Lösungsformel der quadratischen Gleichung und die Lösung durch Nullstellenbestimmung dargestellt. Mit den Schiebereglern des Arbeitsblattes kannst du die Formvariablen a, b und c ändern. Spiele mit den Schiebereglern und rechne nach. Das ist wichtig. Du solltest mindestens 3 quadratische Gleichungen deiner Wahl hintereinander ohne Fehler lösen können.

 

 
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Beispiel:

Berechne die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in der Grundmenge .

4x - 12,5 - 3,5x² = 2x (3 - 2x)

Ganz gleich ob du mit der Lösungsformel oder dem GTR arbeitest, zuerst musst du eine Seite der Gleichung auf "0" bringen. Zumindest diese Arbeit nimmt dir auch der GTR nicht ab.

4x - 12,5 - 3,5x² = 6x - 4x² | + 4x² - 6x

0,5x² - 2x - 12,5 = 0

Schreibe dir die Lösungsformel aus der Formelsammlung ab und auch die Werte der Formvariablen.

mit a = 0,5; b = - 2; c = 12,5 gilt:

Als erstes berechnest du die Diskriminante.

D = (- 2)² - 4 • 0,5 • (- 12,5) = 29 => 2 Lösungen

=> x1 = -3,39 und x2 = 7,39

Überprüfe dein Ergebnis mit dem GTR: GRAPH y = 0,5x² - 2x - 12,5; F6; F5 und F1 (Root)

Wenn die Aufgabenstellung heißt "Bestimme die Lösungsmenge", kannst du es nur mit dem GTR lösen.

Du musst es aber nicht unbedingt mit der Nullstellenbestimmung machen. Es gibt noch eine andere Lösungsmöglichkeit. Du benützt den Menüpunkt EQUA deines Casio-GTR. Das ist ein Gleichungslöser.

 
     
 
==>
    Mit F2 wählst du den Typ Poly...
     
 
Mit F1 wählst du den Grad (degree) der Gleichung. Hier also die "2".   Hier gibst du die Formvariablen ein. Bestätige jede Eingabe mit der EXE-Taste. Mit F1 (SOLV) bekommst du die Lösungen.
     
 

Dokumentation des Lösungsweges:

EQUA F2; F1;
a=0,5 ; b = -2 ; c = -12,5; F1

     
 
  Ein paar Übungen gibt es noch im Rand, aber anspruchsvollere Aufgaben findest du erst auf der nächsten Seite.  
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:32 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Die Diskriminante

D = b² - 4ac

Wenn du mal unten die Lösungsformel betrachtest, dann siehst du den Term b²-4ac unter dem Wurzelzeichen. Dieser Term heißt Diskriminante D. Er entscheidet darüber wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat.

 

Diskriminieren heißt unterscheiden. Wenn eine Frau einen Job nicht bekommt, weil sie eine Frau ist, dann hat man die Bewerber nach dem Geschlecht unterschieden. Auch hier spricht man von Diskriminierung. Vielleicht ist dir daher der Begriff schon bekannt.

Für die Anzahl der Lösungen gilt:

D > 0 => 2 Lösungen

D = 0 => 1 Lösung

D < 0 => keine Lösung

Wenn du die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnen sollst, dann berechne bitte zuerst die Diskrimante. Wenn sie negativ ist, brauchst du gar nicht weiterrechnen.

Beispiel:

3x² + 12x + 15 = 0

a = 3; b = 12; c = 15

D = 12² - 4 •3 • 15 = - 36

=> = {}

 

3x² + 12x + 12 = 0

a = 3; b = 12; c = 12

D = 12² - 4 • 3 • 12 = 0

x = => = {- 2}

 
 

Aufgabe 1:

Für die Diskriminante D = 0 hat eine quadratische Gleichung genau eine Lösung. Bestimme in den folgenden Gleichungen die Variable p so, dass die Gleichung genau eine Lösung besitzt. Löse anschließend die Gleichung.

a) 2x² + 2px + p = 0

Lösung einblenden!

 

 

b) - x² - 4x + p = 0

Lösung einblenden!