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Algebra mit Spaß lernen

 
 
 
Parabellissima 11
Quadratische Gleichungen Übungsaufgaben
 
     
 

Heute möchte ich mal sehen was du auf der letzten Seite gelernt hast. Grüß Gott und auf geht's. Du versuchst die Aufgaben erst selber, dann kannst du dir meine Lösungen einblenden. Aber das kennst du ja alles schon.

Aufgabe 1:

Untenstehende Figur zeigt zwei Flächen. Alle Maße sind in Zentimeter angegeben.

a) Aus welchem Intervall kann man u wählen?

b) Berechne u so, dass die innere Fläche einen Flächeninhalt von 45 cm² hat.

c) Überprüfe durch Rechnung, ob für diese Figur ein Flächeninhalt von 91 cm² möglich ist.

d) Für welche Belegungen von u beträgt der Flächeninhalt der inneren Figur genau
47,5 % des Flächeninhalts des äußeren Rechtecks ?

 
     
 
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Nr. 1
 

a)

Probiere es mit dem Schieberegler aus.

u [0; 5]

Wie löst du die Aufgabe, wenn du nicht so ein schönes Applet zur Verfügung hast? Du machst es genauso mit Ausprobieren. Du probierst verschiedene u aus und schaust ob die innere Figur noch reinpasst.

b)

Du hast dich hoffentlich mit dem Schieberegler davon überzeugt, dass der Flächeninhalt der roten Fläche von der Wahl von u abhängt. Du musst demnach zunächst den Flächeninhalt in Abhängigkeit von u berechnen um dann 45 cm² einzusetzen und die entstandene quadratische Gleichung lösen.

Um die Fläche zu berechnen, musst du sie geeignet zerlegen. Wie du links siehst kannst Du sie entweder vertikal oder horizontal in zwei Teilrechtecke zerlegen.

 
 

 

 

 
     
 

Aufgabe 2:

Ein Rundbogenfenster (siehe Arbeitsblatt unten) hat einen Flächeninhalt von 2,5 m².

a) Zeige, dass folgender Zusammenhang gilt:

Anmerkung: Da diese Funktion z(u) im Applet benutzt wurde und 0,39 ein gerundeter Wert ist, wird für den Flächeninhalt des Fensters bei größeren Werten von u ein Flächeninhalt von 2,51 m² angezeigt. Das ist aber auch ein Beweis, dass der Flächeninhalt vom Applet tatsächlich berechnet wird.

b) Berechne u so, dass der untere Teil des Fensters ein Quadrat ergibt.

Hinweis: Mit dem Schieberegler kannst du die Lösung finden, die du dann nur noch berechnen musst.

c) Wie breit wird das Fenster, wenn gilt: z = 1,08 m?

Hinweis: Auch hier kannst du zunächst die Lösung mit dem Schieberegler bestimmen.

 
     
 
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Nr. 1
 

a)

Was tun, wenn du keinen Plan hast? Du musst darauf vertrauen und du kannst und darfst darauf vertrauen, dass der Aufgabensteller 'ne Menge Tipps für dich in die Aufgabe gepackt hat. Auch wenn es viele glauben, Lehrer sind nicht hinterfotzig.

OK, wo ist hier der Tipp? Der Tipp ist die 2,5 in . Der Flächeninhalt aller Rundbogenfenster ist 2,50 m² (abgesehen von Rundungsproblemen). Also steckt in dieser Funktionsgleichung die Maßzahl für den Flächeninhalt.

Wie ist sie da hineingekommen? Schlicht und einfach! Du berechnest den Flächeninhalt des Fensters in Abhängigkeit von u und z. Der Aufgabensteller hatte jetzt hier aber ein Problem, er hatte nämlich eine Aufgabe zur "Funktionalen Abhängigkeit" mit 2 Variablen.

Die bayerische Staatsregierung in ihrer unendlichen Weisheit erlaubt aber nur eine Variable. Was macht der Aufgabensteller? Er legt den Fensterinhalt fest. Dann hängt entweder u von z ab oder z von u.

Das verwirrt dich jetzt? Na gut, spielen wir es durch. Spielen wir ein wenig. Wir haben alle Zeit der Welt. Zum Lernen brauchst du Zeit.

 
 
 
     
 

Aufgabe 3:

Ein Quadrat mit 12 cm Seitenlänge ist gegeben. Verkürzt man eine Seite um x cm und verlängert die andere um 1,5x cm, so erhält man Rechtecke. Alle Zahlen im Arbeitsblatt unten bedeuten Zentimeter.

a) Fertige eine Zeichnung an. Welche Werte für x sind möglich?

b) Berechne den Flächeninhalt A(x) der Rechtecke in Abhängigkeit von x.

[Ergebnis: A(x) = (- 1,5x² + 6x + 144) cm²]

Falls Du hier nicht zurecht kommst, dann benutze das Ergebnis für die Teilaufgaben c) und d).

c) Welchen Wert musst Du für x einsetzen, um einen Flächeninhalt von 132 cm² zu erhalten?

d) Bestimme das flächengrößte Rechteck? Welchen Umfang besitzt es?

 
     
 
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a)

Ich schlage vor, du spielst links im Arbeitsblatt ein wenig mit dem Schieberegler. Zuerst anklicken, dann ist er aktiviert und du kannst ihn verschieben.

Du erinnerst dich aber doch noch, dass du in einer Prüfung mit deiner eigenen Zeichnung zurechtkommen musst?

Bei Aufgaben, in denen gleichzeitig eine Strecke verkürzt und eine andere verlängert wird, gilt: Du kannst beliebig verlängern, aber nicht beliebig verkürzen.

=> x ]0; 12[

Ob man die Intervallklammern auch nach innen setzen darf, darüber streiten sich die Gelehrten.

   
 
     
 

Aufgabe 4:

In einem chinesischen Mathematikbuch des 2. Jahrhunderts v. Chr. findet sich folgende Aufgabe.

 
     
 
  Eine Stadt mit quadratischen Grundriss ist von einer Mauer umgeben, in der sich zwei Tore jeweils in der Mitte der Mauer genau gegenüberliegen. Genau im Norden des nördlichen Tores findet ihr einen Mast in 20 BU Entfernung. Geht man vom gegenüberliegenden Tor 14 BU nach Süden und dann 1775 BU nach Westen, so sieht man hinter der Stadtmauer gerade noch den Mast. Wie lang ist eine Seite der Mauer?
 
     
 

Was diese Aufgabe mit quadratischen Gleichungen zu tun hat? Du bist gut! Du wirst wahrscheinlich eine quadratische Gleichung lösen müssen. Und übrigens ich weiß nicht was BU für eine Maßeinheit ist. Muss man aber auch nicht wissen um die Aufgabe zu lösen. Du hast mal wieder keinen Plan? Das liegt an deinem schlechten Gedächtnis. Also gut, folge diesem Link und dann kommst du wieder zurück.

Na immer noch keinen Plan? Die Lösung gibt es hier, aber ich habe sie versteckt. Du kannst bei mir ja mal auf den Busch klopfen, vielleicht flattert die Lösung heraus.

 
     
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:32 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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