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Algebra mit Spaß lernen
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Parabellissima 13
Systeme quadratischer Gleichungen Übungsaufgaben (1) |
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Ich bin stolz auf dich. Du hast durchgehalten und ich bin auch überzeugt, Du wirst eine klasse Abschlussprüfung hinlegen. Grüß dich Gott und willkommen auf ein Neues. Was erwartet dich noch in Parabellissima? Zunächst zwei Seiten mit Übungsaufgaben, die nahe am Schwierigkeitsgrad und zeitlichem Umfang von Abschlussprüfungsaufgaben sind. Aber bitte keine Panik, wenn du zunächst die doppelte oder sogar die dreifache Zeit brauchst. Wenn dein Vorbereitungstraining nachhaltig war, also ständig dabei, und dein Abschlusstraining intensiv ist, dann ist alles kein Problem. Aber selbst für die Bequemen unter euch ist weder Polen noch eure Abschlussprüfung verloren.
Warum das so ist, zeige ich dir/euch nach diesen beiden Übungsseiten. Dann werde ich nämlich noch einige Parabelaufgaben aus den Abschlussprüfungen der letzten Jahre besprechen und dir aufzeigen, wie man mit einem Notprogramm in aller letzter Minute vielleicht, aber wirklich nur vielleicht das Schlimmste verhüten kann. Fangen wir an.
Aufgabe 1:
Gegeben ist eine nach oben offene Normalparabel p1 mit A(- 1/ 1)  p1 und
B (2 / - 2) p1 sowie eine Parabel p2 mit y = - 0,5x² + 2x + 3 ( =  x ). |
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| a) |
Bestimme die Gleichung der Parabel p1, ermittle die Koordinaten des Scheitels S1 und zeichne p1 in das Koordinatensystem ein.
[Teilergebnis: p1 mit y = x² - 2x - 2]
Platzbedarf: - 2 < x < 6 und - 4 < y < 6 {Ich lasse die Aufgabe so wie im Buch, damit du deinen Zeitaufwand abschätzen kannst.} |
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| b) |
Berechne die Scheitelkoordinaten des Scheitels S2 der Parabel p2 und trage p2 in das Koordinatensystem aus Aufgabe a) ein. |
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| c) |
Auf p1 liegen Punkte Rn (x / 4). Zeichne diese Punkte Rn ein und berechne die
x-Koordinaten |
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| d) |
Zu den Punkten Pn (x / yp) p1 gehören Punkte Qn (x / yQ) p2. Zeichne zwei beliebige solche Punkte ein und berechne die Streckenlänge  in Abhängigkeit von x. |
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| Nr. 1 |
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a)
Du sollst die Gleichung einer Parabel bestimmen. Die allgemeine Form einer Parabelgleichung ist y = ax² + bx + c. Du musst die 3 Formvariablen a, b und c bestimmen. Dazu brauchst du normalerweise 3 Punkte, die du einsetzen kannst. 3 Punkte legen eine Parabel fest. Aber hier weißt du mehr. Es ist eine nach oben offene Normalparabel. Die Formvariable a ist demnach a = 1 oder a = - 1. Da die Parabel nach oben offen ist, muss die Formvariable a positiv sein: a = 1.
Damit gilt für die Parabel p1:
y = x² + bx + c | A eingesetzt
1 = (- 1)² + b • (- 1) + c
1 = 1 - b + c | - 1 + b
b = c
y = x² + bx + c | B eingesetzt
- 2 = 2² + 2b + c | - 4
- 6 = 2b + c |
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| Nr. 10 |
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weiter d)
Zwischen den Parabelschnittpunkten ist Q der obere Punkt:
Auch diesen Term kennen wir schon.
OK! Lassen wir es mit dieser Aufgabe genug sein. Unten geht es weiter.
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| Nr. 9 |
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weiter d)
P (2 / 9) und Q (2 / - 2) =>  = 9 - (-2) = 11 LE
Jetzt legen wir den oberen Punkt und unteren Punkt einmal unter die x-Achse.
P (2 / - 3) und Q (2 / - 9) => = - 3 - (- 9) = 6 LE
Die Streckenlänge lässt sich also bestimmen mit:
y-Koordinate oben - y-Koordinate unten. Das funktioniert auch im Arbeitsblatt links.
Wenn P oberer Punkt ist (links und rechts von den Parabelschnittpunkten) gilt:
Den Term kennen wir ja schon.
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| Nr. 8 |
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weiter d)
Links und rechts der Parabelschnittpunkte sind die Termwerte negativ. Wenn du den gesamten Term in Klammern setzt und davor ein Minus schreibst, erhältst du positive Werte. Hier gilt:
Wenn du die Länge von Strecken berechnest, die parallel zur y-Achse sind, kannst du das Problem mit dem Betragzeichen aber locker umgehen, wenn du es nicht über einen Vektor machst.
Was fluchst du denn so? Ich sei ein alter Trickser? Ein wenig hast du recht. Doch wenn ich gleich mit der leichten Speziallösung herausgerückt wäre, hättest du mir danach nicht mehr zugehört. Machen wir uns einmal ein paar ganz einfache Beispiele.
P (2 / 9) und Q ( 2 / 4), also P liegt über Q, um zu berechnen brauchst du nur die beiden y-Koordinaten zu subtrahieren:
= 9 - 4 = 5 LE
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| Nr. 7 |
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weiter d)
Damit wäre eigentlich die Aufgabe gelöst. Aber natürlich längst nicht alle Fragen beantwortet. Wenn du die Länge des Vektors  bestimmst, steht das Ergebnis nicht in Betragzeichen. Tja, das ist so, weil du weißt, dass du eine Länge berechnest. Denn die Gleichung x² = 25 hat die Lösungen  . Eigentlich müsste man oben beim Ausrechnen der Vektorlänge auch das Betragzeichen setzen. Man nimmt dann halt "einfach" die positive Lösung.
Ganz etwas anderes ist es, wenn eine Vektorkoordinate von x abhängig ist. Hier musst du sicherstellen, dass keine negativen Längen herauskommen können. Wie löst du nun so ein Betragzeichen auf? Zwischen den Parabelschnittpunkten ist der Termwert immer positiv. In dem Fall brauchst du kein Betragzeichen. Es gilt:
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| Nr. 6 |
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weiter d)
 LE
Schauen wir uns diese Parabel doch einfach mal in unserem Casio-GTR an: GRAPH-F6-F5-F1 (ROOT = Nullstelle)
Waaoooh! Es ist eine Parabel. Wie passt das jetzt zusammen? Ich habe oben die linke Nullstelle anzeigen lassen. Welche Bedeutung hat diese Nullstelle im Arbeitsblatt links? Bei diesem x-Wert schneiden sich die Parabeln p1 und p1. Die rechte Nullstelle kennzeichnet demnach den rechten Schnittpunkt der beiden Parabeln. Rechts und links der Nullstellen sind die y-Werte aber negativ. Negative Streckenlängen gibt es aber nicht. Unsere Gleichung oben ist also nicht ganz vollständig. Wir müssen noch das Betragzeichen setzen. |
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| Nr. 4 |
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d)
Die Punkte Pn (x / x²-2x-2) liegen auf Parabel p1 und die Punkte Qn (x / -0,5x² + 2x + 3) auf der Parabel p2. Beide haben die gleiche x-Koordinate. Sie liegen also übereinander. Strecken im Koordinatensystem berechnet man häufig als Länge von Vektoren. Du musst also den Vektor  mit der Regel
"Spitze - Fuß" bestimmen:
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Der Vektor ist parallel zur y-Achse. Also müsste doch die
y-Koordinate des Vektors auch seine Länge sein? Oderrrr? |
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| Nr. 3 |
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c)
Was weißt du über die Punkte Rn? Richtig! Sie haben alle die
y-Koordinate y = 4. Sie liegen also auf einer Parallelen zur
x-Achse durch den Punkt (0 / 4).
y = x² - 2x - 2 | y = 4 eingesetzt
4 = x² - 2x - 2 | - 4
0 = x² - 2x - 6
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| mit a = 1; b = - 2; c = - 6 und |
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| gilt: |
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x1 = - 2,32 und x2 = 4,32
=> R1 (- 2,32 / 4) und R2 (4,32 /4)
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| Nr. 2 |
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weiter a)
b = c und - 6 = 2b + c => - 6 = 2c + c => - 6 = 3c => c = - 2
=> p1: y = x² - 2b - 2 weil b = c
mit a = 1; b = - 2; c = - 2 gilt: |
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=> S1 (1 / -3)
b)
The same procedure as last year Miss Sophie? The same procedure as every year James! |
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 => S2 (2 / 5) |
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Aufgabe 2:
Eine Parabel p mit dem Öffnungsfaktor a = - 0,5 verläuft durch die Punkte A (1 / 3) und
P (6 / 0,5). |
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| a) |
Ermittle rechnerisch die Gleichung der Parabel p.
[Ergebnis: p mit y = - 0,5x² + 3x + 0,5] |
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| b) |
Berechne die Koordinaten des Scheitels S der Parabel und zeichne p in ein Koordinatensystem ein. |
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| c) |
Die Gerade g mit der Gleichung y = - x + 4 schneidet die Parabel in den Punkten A und B. Zeichne g in das Koordinatensystem ein und berechne die Koordinaten von A und B.
[Teilergebnis: xB = 7] |
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| d) |
Zwischen A und B liegen die Punkte Cn (x / - 0,5x² + 3x + 0,5) auf der Parabel p. Sie bilden die Dreiecke ABCn. Zeichne für x = 4 Das Dreieck ABC1 ein. |
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| e) |
Zeige durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A aller Dreiecke gilt:
A = (- 1,5x² + 12x - 10,5) FE |
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| f) |
Bestimme den Flächeninhalt des größten Dreiecks und berechne die Koordinaten des zugehörigen Punktes C. |
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| g) |
Bestimme x so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 10,125 FE beträgt. |
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Versuche es nur erst selber einmal. Alle Aufgaben sind reines Handwerk. Du brauchst keine außergewöhnlichen Lösungseinfälle. Du musst nur Deine Werkzeuge kennen. Eine Stunde Arbeitszeit sollte dicke ausreichen. Klicke dann auf 1. usw. |
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| Nr. 1 |
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a)
y = - 0,5x² + bx + c | A (1 / 3) eingesetzt
y = - 0,5x² + bx + c | P (6 / 0,5) eingesetzt
3 = - 0,5•1² + b•1 + c | + 0,5
0,5 = - 0,5•6² + b•6 + c | + 18
3,5 = b + c | - b
18,5 = 6b + c | - 6b
3,5 - b = c
18,5 - 6b = c
gleichsetzen:
3,5 - b = 18,5 - 6b | + 6b - 3,5
5b = 15 | : 5
b = 3
c = 3,5 - b | b = 3 eingesetzt
c = 3,5 - 3 = 0,5
=> p: y = - 0,5x² + 3x + 0,5 |
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| Nr. 7 |
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weiter g)
10,125 = - 1,5x² + 12x - 10,5 | - 10,125
0 = - 1,5x² + 12x - 20,625
mit a = - 1,5; b = 12; c = -20,625 und
gilt:
Jetzt müsstest du diesen Term in deinen GTR eintippen. Wie viele machen hier Fehler! Du machst es nicht, weil du nämlich die Lösungen mit dem EQUA-Menü deines Casio-GTR ausrechnest.
EQUA; F2; F1; a = - 1,5; b = 12; c = -20,625; F1
x1 = 2,5 und x2 = 4,5
Kein Korrektor kann nachprüfen, ob du deine Lösungen durch Eintippen der Lösungsformel oder durch das EQUA-Menü gefunden hast. Es reicht völlig aus die Formvariablen in die Lösungsformel einzusetzen (richtig einsetzen hahahah!) und die Lösungen dann mit EQUA zu bestimmen. |
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| Nr. 6 |
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| weiter f) |
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Amax = 13,5 FE für x = 4
y = - 0,5x² + 3x + 0,5 | x = 4 eingesetzt
y = - 0,5•4² + 3•4 + 0,5 = 4,5
=> Cmax (4 / 4,5)
g)
Selbst wenn du alle Teilaufgaben vorher nicht gelöst hast. Diese musst du mit der angegebenen Lösung von Teilaufgabe e) lösen können. Diese Teilaufgabe ist ein Rettungsanker. Und in der Abschlussprüfung gibt es eine schöne Anzahl davon. Mit ein wenig Fleiß solltest du sie nutzen können. Das gilt für die Mathemuffel unter euch. Es ist fast nie zu spät anzufangen zu lernen. Aber für die Abschlussprüfung sollten es schon 6 Wochen sein.
OK, hier musst du den Wert nur einsetzen und die quadratische Gleichung lösen.
10,125 = - 1,5x² + 12x - 10,5 | - 10,125 |
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| Nr. 5 |
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weiter e)
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f)
 interpretierst du als Parabel y = -1,5x² + 12x - 10,5 und bestimmst den Scheitel. Da die Parabel nach unten geöffnet ist, liegt hier ein Maximum vor.
a = -1,5; b = 12; c = -10,5 |
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| Amax = 13,5 FE für x = 4 |
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| Nr. 4 |
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e)
Du brauchst das Werkzeug "Determinantenformel". Kennst du noch den Ablauf? Erst 2 Vektoren aufstellen, die das Dreieck aufspannen. Dann die Vektoren "richtig herum" in die Determinantenformel einsetzen und die Determinante auflösen.
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| Nr. 3 |
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weiter c)
- 0,5x² + 4x - 3,5 = 0
mit a = - 0,5; b = 4; c = - 3,5 und gilt:
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y = - x + 4 | x1 = 1 einges.
y1 = - 1 + 4 = 3
=> A (1 / 3)
y = - x + 4 | x2 = 7 einges.
y1 = - 7 + 4 = - 3
=> B (7 / - 3) |
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die 3 Möglichkeiten mit dem Casio-GTR:
GRAPH: y=-0,5x²+3x+0,5 und y=-x+4; F6; F5;
F5 (ISCT=Schneiden)
GRAPH: y=-0,5x²+4x-3,5; F6; F5; F1 (ROOT=Nullstellen)
EQUA: F2; F1; a=-0,5 b=4 c=-3,5; F1 (SOLV)
d)
Wenn du den Schieberegler betätigst, kannst du dir sogar noch ein paar Dreiecke mehr ansehen. |
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| Nr. 2 |
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b)
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| => S (3 / 5) |
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c)
Muss ich dir noch erklären, wie du eine Gerade zeichnest? In der 10. Klasse solltest du das im Schlaf können. Du brauchst zwei Punkte um eine Gerade zu zeichnen. A ist schon gegeben, also rechne dir gefälligst noch einen aus.
Du schneidest eine Parabel mit einer Gerade:
- 0,5x² + 3x + 0,5 = - x + 4 | + x - 4
- 0,5x² + 4x - 3,5 = 0
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Bevor wir weitermachen müssen wir ein Verhütungsgespräch führen. Das Thema ist: Wie verhütest du, dass sich die Katze in den Schwanz beißt, wenn u angegebene Lösungen benutzt?
In vielen Teilaufgaben der Abschlussprüfung sind Lösungen oder Teillösungen angegeben und zwar zu dem einzigen Zweck, dass du weitermachen kannst. Du kannst eine angegebene Lösung von z.B. Teilaufgabe d) nicht benutzen um die Teilaufgabe c) zu lösen. Nehmen wir an du hast es trotzdem gemacht. Jetzt kommst du zu Teilaufgabe d). Du benutzt dein Ergebnis von c) um sie zu lösen.
Da beißt sich die Katze in den Schwanz!!!
d.h. du benutzt die angegeben Lösung von d) um c) zu lösen. Dann löst du mit deinem Ergebnis von c) die Teilaufgabe d). Du hast nur lauwarme Luft produziert. Ich sage nur
0 Punkte! Machen wir weiter.
Aufgabe 3:
Die Punkte Bn (x / x² - 4x + 2) wandern auf der Parabel p1 mit y = x² - 4x + 2. Jedem Punkt Bn ist ein Punkt Cn (-x / yc) auf der Parabel p2 mit y = - (x + 1)² + 7 zugeordnet. Die Punkte Bn und Cn sind Eckpunkte von Dreiecken ABnCn mit A (0 / - 2). |
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| a) |
Zeichne die Parabeln p1 und p2 in ein Koordinatensystem. |
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| b) |
Ergänze die Zeichnung durch die Dreiecke für x = 0,5 und x = 3. |
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| c) |
Ermittle die Koordinaten der Punkte Cn in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Bn. |
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| d) |
Berechne den Flächeninhalt A der Dreiecke ABnCn in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: A (x) = (-x² + 6x) FE] |
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| e) |
Bestimme den Flächeninhalt des größten Dreiecks. |
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| Nr. 1 |
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a)
Wie du Parabeln zeichnest, das habe ich in Parabellissma schon mehrmals erklärt. Hier nicht mehr. Falls du ein Quereinsteiger bist, musst du dir schon die Mühe machen die Lerneinheit von vorne durchzugehen.
b)
Mit dem Schieberegler kannst du beliebig viele Dreiecke erzeugen.
c)
Bn (x / x² - 4x + 2)
Cn (- x / yc)
Cn (- x / - (xc + 1)² + 7)
mit xc = - x gilt:
Cn (- x / - (- x + 1)² + 7) fertig!
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| Nr. 4 |
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weiter e)
Du bestimmst den Scheitel der Parabel y = - x² + 6x.
a = - 1; b = 6; c = 0 |
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Die Parabel ist nach unten geöffnet, d.h. hier handelt es sich um ein Maximum.
Amax = 9 FE für x = 3
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| Nr. 3 |
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weiter d)
e)
Du bestimmst den Scheitel der Parabel y = - x² + 6x.
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| Nr. 2 |
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d)
[Ergebnis: A (x) = (-x² + 6x) FE]
Mit sicherem Griff holst du aus deiner Werkzeugkiste die Determinantenformel. Du brauchst wie immer zwei Vektoren, die das Dreieck aufspannen. Richtig herum eingesetzt, erhältst du die Fläche. Was "richtig herum " heißt, erkläre ich für die Mathemuffel hier wirklich zum letzten Mal, dann können sie mir den Buckel herunterrutschen.
In der Determinante bildet derjenige Vektor die 1. Spalte, der gegen den Uhrzeigersinn gedreht, das Dreieck überstreicht.
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Dienstag 15 September, 2009 19:32
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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