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Ich hoffe, du hast dich inzwischen von Lektion 1 gut erholt. Großmütter sind doch manchmal auch anstrengend, vor allem wenn sie verlangen, dass du arbeitest. Also gestern hast du die Großmütter aller Funktionen kennengelernt, die Produktmengen. Heute beschäftigen wir uns mir ihren Töchtern, den Relationen.
Erinnerst du dich noch an unser Motto?
Geradewegs: Produktmengen ===> Relationen ===> Funktionen
Was ist eine Relation?
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In Aufgabe 11 auf der letzten Seite habe ich es ja schon verraten.
Eine Relation ist die Teilmenge einer Produktmenge! |
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Du meinst, das kann doch nicht alles sein? Doch das ist alles. Das Problem ist nur die Auswahl der Zahlenpaare. Hierfür hast du zwei Möglichkeiten:
- Du triffst eine willkürliche Auswahl nach Lust und Laune.
- Die Auswahl geschieht durch eine Vorschrift.
Im Mathe-Unterricht geschieht die Auswahl natürlich gemäß Fall 2, also durch eine Vorschrift, eine Relationsvorschrift. Wie könnte so eine Vorschrift aussehen? Ich gebe dir einige Beispiele:
y < x oder 2x -y < 5 oder y = 3x +1 oder y = x² - 2x +1 oder x-3y = 23
Eine Relationsvorschrift ist also eine Gleichung oder Ungleichung mit den zwei Variablen x und y. Mit Hilfe einer Gleichung bzw. Ungleichung sortierst du die Zahlenpaare aus der Produktmenge aus, die die Gleichung bzw. Ungleichung erfüllen. Diese Zahlenpaare gehören dann zu einer Relation.
Weißt du eigentlich, was das englische Wort "relation" bedeutet? Übersetzt heißt es "Beziehung". Die Relationsvorschrift stellt eine Beziehung zwischen den x-Werten aus der ersten Menge und den y-Werten aus der zweiten Menge her.
Aufgabe 1:
Gegeben sind die Mengen A = {-3; -2; 0; 1; 2; 3; 4} und B =[-4; 3]Z sowie die Vorschrift y =0,5x - 1 mit  = A x B .
Bestimme die Elemente der Relation. |
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Wie viele Elemente (Zahlenpaare) hat die Produktmenge (Grundmenge) A x B. In der Menge B sind die ganzen Zahlen von -4 bis 3 enthalten. Das sind 8 Zahlen und in der Menge A sind 7 Zahlen. Die Produktmenge A x B enthält also 7 • 8 = 56 Zahlenpaare. Ein Weg, die Relation zu bestimmen, wäre natürlich alle 56 Zahlenpaare in die Relationsvorschrift einzusetzen, und nachzuschauen ob die Relationsvorschrift erfüllt ist. Aber was für ein mühsamer Weg wäre dies.
Stell dir einmal vor für B würde gelten B =[-4; 3]Q . Du müsstest unendlich viele Zahlenpaare ausprobieren. Ausprobieren würde hier nicht funktionieren. Solches geht nur bei kleinen, endlichen Mengen.
Der richtige Weg heißt: Verwende eine Wertetabelle! |
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Eine Wertetabelle besteht aus 2 Zeilen. Oben stehen die x-Werte aus Menge A. Diese Werte setzt du in die Relationsvorschrift ein und rechnest die zugehörigen y-Werte aus. Jetzt musst Du nur noch prüfen, ob der errechnete y-Wert in der Menge B enthalten ist.
y = 0,5 • (-3) - 1 = - 1,5 - 1 = - 2,5 |
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y = - 2,5 ist nicht in der Menge B enthalten. Demnach ist das Zahlenpaar (-3 / -2,5) auch nicht in der Produktmenge (= Grundmenge). |
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So wie oben müsstest du alle y-Werte berechnen. Doch wenn du einen graphischen Taschenrechner hast, kannst du mit ihm deine Wertetabelle berechnen. Wie das funktioniert, zeige ich dir im rechten Rand oben. |
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Für die Relation R gilt also: R = {(-2/-2); (0/-1); (2/0); (4/1)} |
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Noch 2 Begriffe:
Alle in einer Relation auftretenden x-Werte bilden die Definitionsmenge  , die zugehörigen y-Werte die Wertemenge  . |
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In unserer Aufgabe oben sind Definitionsmenge und Wertemenge:
= {-2; 0; 2; 4} und = {-2; -1; 0; 1} |
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Aufgabe 2:
Gegeben ist eine Relation R = {(-5/12); (-3/10); (-1/8); (1/6); (3/8); (5/10); (7/12)}.
Gib die Definitions- und die Wertemenge der Relation an. |
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Lösung einblenden hier... |
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| = {-5; -3; -1; 1; 3; 5; 7} und = {6; 8; 10; 12} |
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Aufgabe 3:
Durch die Vorschrift 2x + y =3 wird in A x B eine Relation bestimmt.
A = [-3; 3]Z ; B = [-1; 6]Z
a) Stelle die Elemente der Relation in aufzählender Form dar.
b) Gib die Definitions- und Wertemenge der Relation an.
Hinweis: Zur Berechnung der Wertetabelle musst du die Relationsvorschrift nach y auflösen.
Lösung einblenden hier... |
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| R = {(-1/5); (0/3); (1/1); (2/-1)} |
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| = {-1; 0; 1; 2} und = {-1; 1; 3; 5} |
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Du kennst nun die Großmutter und die Mutter der Funktion. Lass uns die Familiengeschichte zu Ende bringen.
Geradewegs: Produktmengen ===> Relationen ===> Funktionen
Was ist eine Funktion? |
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Eine Funktion ist eine Relation, eine Relation mit besonderen Eigenschaften. Um dir diese Eigenschaften klar zu machen, habe ich nun zwei Möglichkeiten. Entweder verwende ich die korrekte mathematische Formulierung oder ich drücke mich verständlich aus. Du bekommst beide Erklärungsmöglichkeiten von mir. Vergleiche selber! |
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| Eine Funktion f ist eine eindeutige Relation. Jedem Element x der Definitionsmenge wird genau ein Element y der Wertemenge zugeordnet. |
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Eine Funktion erkennst du daran, dass in den Zahlenpaaren jeder x-Wert nur einmal vorkommt oder du schaust dir die grafische Darstellung an. Funktionen haben keine übereinander liegenden Punkte. |
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Funktion |
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keine Funktion,
nur Relation
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keine Funktion,
nur Relation |
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Aufgabe 4:
Gegeben ist eine Relation R mit der Relationsvorschrift y + 0,5x² = 3 d.h.
R = {(x/y)| y + 0,5x² = 3} in der Grundmenge M x  , wobei M = [-4;4]Z
a) Bestimme die Elemente der Relation. [Hinweis: Löse die Vorschrift nach y auf!]
b) Fertige eine grafische Darstellung.
c) Entscheide, ob R eine Funktion ist. Begründe.
Lösung einblenden hier...
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| R = {(-4/-5); (-2/1); (0/3); (2/1), (4/-5)} |
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 Es ist eine Funktion! |
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Diese Seite wurde zuletzt am
Dienstag 15 September, 2009 19:33
geändert.
© 2002 Wolfgang Appell
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