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Algebra mit Spaß lernen

Geradewegs zu den Sternen 7
Lineare Funktionen - Punkt-Steigungs-Form
 
 

Grüß dich! Du kennst bis jetzt zwei Formen von Gleichungen für lineare Funktionen (= Geraden). Da ist einmal die Wald- und Wiesenform, ganz allgemein,

z.B. 2x - 4y = 4.

Wenn du diese Wald- und Wiesenform nach y auflöst, erhältst du ihre Normalform:

2x - 4y = 4 | - 2x

-4y = -2x + 4 | : (-4)

y = 0,5x - 1


Jetzt gibt es noch eine 3. Form der Geradengleichung: Die Punkt-Steigungs-Form. Was das ist? Herrschaftzeiten, gedulde dich doch! Ich bin doch dabei dir das zu verklickern, aber der Reihe nach. Alles auf einmal ist unbekömmlich.

Beispiel:

Der Punkt A(4/3) liegt auf der Geraden g mit der Gleichung y = 0,5x + 1.

Zeige durch Umformung, dass die Gleichung y = 0,5 (x - 4) + 3 ebenfalls Gleichung der Geraden g ist.

y = 0,5 (x - 4) + 3

y = 0,5x - 2 + 3

y = 0,5x + 1

Das Ergebnis dieser Aufgabe ist eine Vermutung:

Wenn du die Steigung m einer Geraden g und einen Punkt A auf der Geraden kennst, konntest du bisher den y-Achsenabschnitt dadurch ausrechnen, dass du diesen Punkt in die Normalform einsetzt. Anscheinend gibt es noch eine 2. Möglichkeit. Schauen wir uns an wie es bisher war.

1. Möglichkeit: Einsetzen in die Normalform y = 0,5x + t

y = 0,5x + t | A(4 / 3) eingesetzt

3 = 0,5 •
4 + t

3 = 2 + t | - 2

t = 1

=> g: y = 0,5x + 1

2. Möglichkeit: Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form y = m (x - xA) + yA

y = 0,5 (x - 4) + 3 (siehe oben)

Beachte: Durch das Minus-Zeichen in der Klammer dreht sich das Vorzeichen der x-Koordinate vom Punkt A um.

Warum das funktioniert, das kannst du dir unten mit dem Arbeitsblatt klar machen. Du hast dort 3 Objekte: Die Gerade g und die beiden Punkte A und B. Du kannst alle 3 mit der Maus Packen und verschieben. Beachte dabei, was in den Gleichungen passiert.

Also du musst ein wenig mit dem Arbeitsblatt spielen und schauen. Danach packst du das Arbeitsblatt mit der Maus und schiebst es soweit zur Seite, dass der rechte Rand frei liegt. Im Rand blendest du dann meine Aufgaben zu diesem Arbeitsblatt ein indem du auf 1 oder 2 klickst.

 
     
 
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Weißt du, was uns noch fehlt? Es sind die Gleichungen von Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Um herauszufinden wie diese Gleichungen aussehen, experimentiere unten mit Arbeitsblatt. Du kannst die Punkte A und B sowie die Gerade g selbst mit der Maus packen und ziehen. Lege die Gerade g parallel zu den Achsen und beobachte die Geradengleichung.

 
 

 

 
 
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Ergebnis:

Eine Parallele zur x-Achse hat die Gleichung

y = t mit t

Es handelt sich um eine lineare Funktion mit der Steigung m = 0. Die Gerade geht durch den Punkt P(0/t). Man spricht hier von einer konstanten Funktion.

 

Eine Parallele zur x-Achse hat die Gleichung

Die Gerade geht durch den Punkt P(n/0).

Es handelt sich nicht um eine Funktion sondern nur im eine Relation!

Weißt du noch warum? Richtig! Wenn es nur mindestens zwei Punkte im Graphen gibt, die übereinander liegen, ist es keine Funktion mehr. Hier liegen alle Punkte übereinander.

x = n mit n

 

 
 

So die Theorie zu den linearen Funktionen hast du jetzt kennengelernt. Es folgen jetzt zunächst einige Aufgaben, die diese theoretischen Kenntnisse in deinem Gedächtnis festigen sollen. Außerdem sind sie sehr nützlich zur Vorbereitung auf die 1. Schulaufgabe. Ich werde dir hier alle Möglichkeiten der Aufgabenstellung und ihre Bewältigung anbieten. Was du brauchst ist nur Fleiß. Danach geht es in die Praxis mit praxisorientierten Aufgaben. Also los, auf geht's.

Aufgabe 3:

Von einer Geraden g ist die Steigung m und ein Punkt P gegeben. Berechne ihre Gleichung und überprüfe ob der Punkt Q auf der Geraden liegt.

a) m =0,5; P(0 /4); Q(-2 /2)

b) m = - 0,3; P(6 / 1); Q(-4/4)

Lösung von a) einblenden hier...

 
 

 

 
   
 
Lösung von b) einblenden hier...
 
     
   
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:35 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Aufgabe 4:

Bestimme die Gleichung der Geraden g =AB.

a) A(1/-1); B(3/-5)

b) A(-3/-1); B(6/3,5)

c) A(3/-5); B(0,5/5)

d) A(-5/-2); B(0/4)

Hinweis:

1. Steigungsvektor berechnen
2. Steigung berechnen
3. Punkt einsetzen oder Punkt-Steigungs-Form verwenden

Lösungen hier...