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Algebra mit Spaß lernen

 

Funktionen light 1
Funktionen der Form - Hyperbeln

 
     
 

Ich freue mich, dass du da bist. Ein herzliches Grüß Gott! Willkommen zum letzten Mathe-Kapitel vor der Abschlussprüfung. Hier sollst du neben den Geraden und Parabeln noch zwei andere Funktionen kennenlernen. Mehr als ein Kennenlernen, ein Hineinschnuppern wird es nicht sein. Also du brauchst davor keine Angst zu haben. Der Stoff reicht höchsten für eine halbe Abschlussprüfungsaufgabe. Deswegen ist früher manche(r) LehrerIn auf die Idee gekommen dieses Stoffgebiet als nicht prüfungswichtig wegzulassen. Seit dem Jahr 2006 geht das nicht mehr.

Seit dem Jahr 2006 gibt es die sogenannte Pflichtaufgabe. Sie hat den Umfang einer halben Abschlussprüfungsaufgabe. Sie bringt also ca. 9 Punkte und ist auch entsprechend kürzer und leichter. Seitdem ist dieses Hineinschnuppern in die Hyperbelfunktion und die Exponentialfunktion prüfungswichtig. Ich kann diese Kapitel in deinem Interesse nicht einfach weglassen.

Ich glaube, ich erkläre dir einmal wie das mit der Abschlussprüfung in der bayerischen Realschule seit 2006 läuft. Nicht-Bayern können das überspringen.

Du must drei Aufgaben aus den Bereichen Raumgeometrie, Ebene Geometrie und Funktionen lösen. Zwei Aufgaben davon nenne ich volle Abschlussprüfungsaufgaben, weil sie etwa einen Zeitaufwand von je 1 Stunde erfordern und ca. 16 bis 17 Punkte bringen, und die Pflichtaufgabe ist nur halb so lang und letztlich auch nur halb so schwer. Sie bringt aber auch nur um die 9 Punkte. Die Prüfungszeit beträgt 150 Minuten.

Du hast kein Wahlrecht, dein Lehrer hat das Wahlrecht. Zunächst muss er aus den drei Pflichtaufgaben aus den drei Bereichen eine Pflichtaufgabe auswählen. Damit ist ein Bereich abgedeckt. Nehmen wir an, dein Lehrer hat als Pflichtaufgabe den Bereich Funktionen gewählt, dann musst du zwei große Aufgaben aus den Bereichen Raumgeometrie und Ebene Geometrie lösen. Aber hier hat dein Lehrer die Möglichkeit aus jeweils zwei Aufgaben auszuwählen.

Ok, fangen wir an. Zunächst geht es um Hyperbeln. Du kennst sie schon lange als Graphen zu indirekten Proportionalitäten. Schauen wir uns Funktionen der Form unten im Arbeitsblatt näher an.

Meine Anmerkungen dazu blendest du im rechten Rand ein, wenn du unten auf 1, 2, 3 usw klickst.

 
 

 

 
 
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Nr.1
 
Gleichungen der Form mit k \{0} stellen in der Grundmenge x

Funktionen dar.

Du weißt hoffentlich noch was Funktionen sind?

Funktionen sind eine besondere Form von Relationen und eine Relation ist jede Teilmenge von x. Es handelt sich also um eine Menge von Zahlenpaaren. Die Zahlenpaare lassen sich im Koordinatensystem darstellen. Eine solche Darstellung nennt man den Graph der Relation bzw. der Funktion.

Wie erzeugt man nun die Zahlenpaare? Allermeistens verwendet man dazu eine Gleichung oder Ungleichung, die den rechnerischen Zusammenhang zwischen den x- und y-Werten darstellt, z.B. kennst du ja schon Geradengleichungen, Parabelgleichungen und wie jetzt oben Hyperbelgleichungen.

Gibt es im Graphen der Relation keine Punkte, die übereinander liegen, dann handelt es sich um eine Funktion. In den Zahlenpaaren kommt also jeder x-Wert nur einmal vor.

 

 
  Die nachfolgende Aufgabe hat fast den Umfang und Schwierigkeitsgrad einer großen Abschlussprüfungsaufgabe mit etwa 16 Punkten. Ich bin mir ziemlich sicher, dass dir eine solch umfangreiche Aufgabe zum Thema Hyperbelfunktionen in der Abschlussprüfung nicht vorgelegt wird. Dazu ist die Stundenzahl, die für diesen Teil des Lehrplans vorgesehen ist zu gering. Aber es schadet ja nicht etwas mehr zu üben, als man braucht. Außerdem möchte ich dir beweisen, dass du alles, was du bei der Parabel gelernt hast, bei der Hyperbel genauso anwenden kannst. Die Aufgabe 2 stellt dann eine typische Abschlussprüfungsaufgabe zum Them Hyperbelfunktion dar.  
     
 

Aufgabe 1:

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung mit =+x.

a) Tabellarisiere f für x{1; 2; 3; 4; 6; 9} und zeichne den Graphen zu f.
[2 P]

b) Die Strecke [BnDn] mit 6 LE ist Diagonale der Rauten AnBnCnDn.

Es gilt: An(x / -4); Cn(x / )

Zeichne eine Raute A1B1C1D1 für x = 6 und berechne den Flächeninhalt. [4 P]

c) Stelle den Flächeninhalt der Rauten AnBnCnDn in Abhängigkeit von x dar.
[2 P]

d) Berechne die Belegung von x, für die eine der Rauten ein Quadrat ist. Gib die Koordinaten der zugehörigen Eckpunkte an. [4 P]

e) Der Eckpunkt C2 der Raute A2B2C2D2 liegt auf der Geraden g mit der Gleichung
y = 0,5x + 2. Berechne die Koordinaten von C2. [4 P]

 
     
 
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Aufgabe 2:

Die Funktion f hat die Gleichung und die Gerade g hat die Gleichung mit =x

a) Zeichnen Sie den Graphen zu f und die Gerade g für x[-3, 6] in ein
Koordinatensystem. Berechnen Sie sodann die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden g mit dem Graphen zu f auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. [6 P]

b) Geben Sie die Gleichung einer Geraden h an, sodass h keinen Punkt mit dem Graphen zu f gemeinsam hat. [2 P]

 
     
 
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Diese Seite wurde zuletzt am Dienstag 15 September, 2009 19:39 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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