Figurine07
 
 
 
Fortsetzung vom rechten Rand
 

Und man konnte eine Aufgabe in Angriff nehmen, die solche nicht-ganzzahligen Teiler sucht. Man unterstellt hier die Existenz von etwas, dass wir heute rationale Zahlen nennen. Und das macht diese Aufgabe so bedeutsam. Besonders wenn man bedenkt, dass man in Europa erst Jahrtausende später begann damit zu rechnen.

Ahmes nimmt an, der Haufen besteht aus 7 gleich großen Teilen. Dafür steht im Text:

7/1 und 1/7

In heutiger Schreibweise bedeutet das

y = 7x
x = (1/7)y

Nun fordert die Aufgabe, dass zu den 7 Teilen ein weiterer ebenso großer Teil hinzugefügt werden soll.

7x + 1x = 8x
8x = 19
x = 19/8

Eine solche Division stellte für Ahmes keine Schwierigkeit dar. Die Ägypter hatten ein raffiniertes Schema für die Division erfunden, das nur mit Verdoppeln und Halbieren auskam.

In der rechten Spalte wird der Divisor 8 schrittweise verdoppelt, und zwar so lange, bis die nächste Verdoppelung größer als der Dividend 19 wäre. In der linken Spalte wird angefangen mit 1 einfach verdoppelt. Wenn rechts die größte Zahl erreicht ist, wird der Divisor 8 einfach schrittweise halbiert bis die 1 erreicht ist. Entsprechend wird links die 1 fortwährend halbiert.

 
1  
8
verdoppeln
2  
16
1/2  
4
halbieren
1/4  
2
1/8  
1
 

Nun zählt man rechts alle Zahlen zusammen, die insgesamt 19 ergeben, also 16 + 2 + 1. Dem entsprechend zählt man links alle Zahlen und Brüche zusammen, also 2 + 1/4 + 1/8.
Und das ist das Ergebnis der Division.

2 + 1/4 + 1/8 = 2 3/8

16 + 2 + 1 = 19

2 3/8 ist der 8. Teil von 19. Nimmt man einen Teil davon weg, bleiben 7 Teile übrig, und das entspricht dem ganzen Haufen. Also muss man 2 3/8 mal 7 nehmen und erhält den Haufen.

2 3/8 * 7 = 16 5/8

 
Mathe-Geschichte(n) mit Spaß lernen

 
Wie die alten Ägypter rechneten
 
     
 

Wenn Du dieses hier liest hast Du sicherlich schon die Seite über alte ägyptische Zahlen gelesen. Hier noch einmal zur Erinnerung die Tabelle mit den Zahlen-Hieroglyphen.

Zahlen wurden durch Gruppierung bzw. Anordnung geschrieben, siehe auch die unten stehenden Beispiele.

 
 
 
 
  = 249
     
  = 12 125
Die Schreibweise der Hieroglyphen hat sich natürlich im Laufe von 2 Jahrtausenden etwas gewandelt. Außerdem sehen sie jeweils etwas anders aus, je nachdem ob sie von links nach rechts oder von rechts nach links geschrieben werden. Unten siehst Du eine Abbildung mit alternativen Schreibweisen.
 
 
     
  = 3 261 312
 
     
     
 
 
  Addiert wird durch Neugruppierung der Hieroglyphen. Hier ist ein Beispiel. Beachte, dass beim Ergebnis für die 11 Einer-Hieroglyphen 1 Zehner-Hieroglyphe und 1 Einer-Hieroglyphe geschrieben wird.  
 
 
 
+
=
 
     
 

Wie aber haben die alten Ägypter multipliziert oder dividiert? Ich will Dir hier ihre Methoden vorstellen, aber sage nicht es sei mühsam. Bedenke sie hatten nicht unsere Zahlenschreibweise. Damit es für Dich besser durchschaubar ist verwende ich aber unsere Schreibweise. Wie also haben sie z.B. 47 x 24 gerechnet ?
 

 
 

47

47
94
188
376
752

x

24

1
2
4
8
16

  Du legst 2 Spalten an. In die 1. Spalte schreibst Du 47 und in die 2. Spalte 1. Jetzt musst Du nur noch von Zeile zu Zeile verdoppeln.
 
Jetzt setzt Du den Faktor 24 aus den Zahlen der 2. Spalte zusammen z.B. 8+16=24
24
47 x 24
47 x 24
47 x 24
=
=
=
=
16 + 8
47 x (16 + 8)
752 + 376
1128
 
     
  Als nächstes will ich Dir die ägyptische Divisionsmethode zeigen und zwar an der Division 329 : 12.  
     
 

329

12
24
48
96
192
384

:

12

1
2
4
8
16
32

  Auch hier legst Du 2 Spalten an. In die 1. Spalte schreibst Du den Divisor 12 und in die 2. Spalte 1. Jetzt musst Du nur noch von Zeile zu Zeile verdoppeln und zwar so lange bis die Zahl in der 1. Spalte größer ist als der Dividend 329.
 
Jetzt stellst Du folgende Staffelrechnung an:

329
-192
137
-96
41
-24
17
-12
5

 
 
 

also gilt:     329 = 16 x 12 + 8 x 12 + 2 x 12 + 1 x 12 + 5 = (16 + 8 + 2 +1) x 12 + 5

demnach ist: 329 : 12 = 27 5/12 = 27 + 1/3 + 1/12

Wir erinnern uns, die alten Ägypter kannten fast nur Stammbrüche. Aber auf jeden Fall kannten sie offensichtlich das Distributivgesetz.

 
     
 
Wir erinnern uns daran, wie die Ägypter ihre Bruchzahlen schrieben. Sie setzten über die Zahlen-Hieroglyphe für den Nenner die Hieroglyphe für "Mund", also ein Oval. Und sie kannten bis auf die beiden Ausnahmen 2/3 und 3/4 nur Stammbrüche. Alle anderen Brüche wandelten sie in Stammbrüche um. Wenn man ihre Schreibweise in unsere Schreibweise überträgt, würde es vielleicht so aussehen:
 
 
und noch ein Beispiel für die Umwandlung in Stammbrüche
 
  Wie Du sicherlich weißt, ist die Umwandlung eines Bruches in eine Summe von Stammbrüchen nicht eindeutig, d.h. Du hast da meistens immer mehrere Möglichkeiten.  
     
 
$2\over n$ 1/p + 1/q + 1/r+$\dots$
5 3 15
7 4 28
9 6 18
11 6 66
13 8 52 104
15 10 30
$\vdots$
Die Ägypter bevorzugten nun bestimmte Stammbrüche für die Zerlegung. Die genaue Formel, die sie für die Zerlegung eines Bruches in eine Summe von Stammbrüchen verwendet haben, ist aber noch unbekannt. Auf alle Fälle benutzten sie aber Tabellen wie die nebenstehende Tabelle (natürlich mit Hieroglyphen geschrieben). Diese Tabelle stammt von Ahmes, der den Rhind-Papyrus geschrieben hat (siehe Rand). Auf alle Fälle steht fest, dass die Ägypter die allgemeinen Regeln des Bruchrechnens beherrschten.
 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Sonntag 21 September, 2008 22:23 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Der Rhind Papyrus
 
 

Viel von der Mathematik der Alten Ägypter zur Zeit der Pyramiden kennen wir aus zwei ausgegrabenen Papyrus-Rollen, dem Papyrus RHIND und den Papyrus MOSKAU. Der Papyrus MOSKAU heißt nach seinem Aufbewahrungsort, dem Museum der Schönen Künste in Moskau. Der Papyrus RHIND wurde 1858 von dem Ägyptologen Alexander Henry Rhind in Theben ausgegraben. Der Papyrus wurde von dem Schreiber Ahmes bzw. Ahmose angefertigt. Ahmes lebte etwa 1680 v.Chr. bis 1620 v.Chr. und er bestätigt selbst, dass er nicht der Autor ist, sondern es sich um eine Kopie eines ca. 200 Jahre älteren Papyrus handelt.

Der Papyrus ist in hieratischer Schrift geschrieben und die Rolle war ursprünglich 5,40 m lang und 32 cm breit. Er hat sogar einen richtigen Buchtitel:

"Genaues Rechnen. Einführung in die Kenntnis aller existierenden Gegenstände und aller dunklen Geheimnisse"

Der Papyrus RHIND enthält 84 Aufgaben sowie eine Tafel der Divisionen 2 : n. Viele der Aufgaben sind Verteilungs-Aufgaben, z.B. über die Verteilung von Broten. Aber es finden sich auch sehr viele geometrische Aufgaben z.B. Flächenberechnungen von Dreiecken, Kreisen und Rechtecken. Natürlich gibt es auch Aufgaben zu Pyramiden. Die Rechenkunst war im Alten Ägypten unentbehrlich für die Verwaltung des Reiches und hatte einen hohen praktischen Nutzen.

 
Aufgabe 24 im Papyrus RHIND
 

Die Aufgabe 24 ist eine sogenannte "HAU"-Rechnung. Mit HAU wird etwas bezeichnet, das man wörtlich mit "Haufen" übersetzt und im mathematischen Sinn eine unbekannte Größe oder Menge darstellt. Die Aufgabe lautet:

Ein Haufen und sein Siebtel sind 19

Diese Aufgabe steht stellvertretend für eines der Grundprobleme in der Mathematik. Wie kann aus gegebenen bekannten Größen auf gesuchte unbekannte Größen geschlossen werden? Man errechnet exakte Zahlen aus Größen, deren genaue Beschaffenheit man nicht kennt.

Auch wenn Ahmes die genaue Größe des Haufens nicht kennt, nimmt er an, dass er aus 7 gleich großen Teilen besteht. Das ist sozusagen die erste Idee zur Lösung der Aufgabe. Mit welchem Recht nimmt er 7 Teile an?

Der Haufen ist nicht nur ein "Ganzes", sondern auch ein "Vieles". Jedes Ganze, das nicht elementar ist, ist aus Teilen zusammengesetzt. Man kann also zwar willkürlich aber zulässig annehmen, dass dieses Ganze aus 7 Teilen besteht. Das ist eine Art Hypothese, die natürlich bewiesen werden muss.

Es ist übrigens nicht die Rede davon, dass es sich um 7 ganzzahlige Teile handelt. Und diese Tatsache unterstreicht ebenfalls das hohe geistige Niveau der ägyptischen Rechenkunst. Wer solche Aufgaben überhaupt stellt, der muss eine Vorstellung von der inneren Struktur der Welt haben und davon, dass es sozusagen Einzelteile dieser Welt gibt.

Warum nimmt Ahmes als Summe die 19, wo er doch z.B. mit 28 viel einfacher hätte rechnen können? Wahrscheinlich gerade um zu zeigen, dass er das ausrechnen kann. Natürlich wusste man im Alten Ägypten, dass eine Primzahl wie die 19 keine Teiler hat. Aber offenbar wusste man auch, dass eine Primzahl lediglich keine ganzzahligen Teiler hat.

Fortsetzung am linken Rand !