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Was hältst du von diesen Aufgaben?

  1. Vier Musiker spielen ein Musikstück in 4 min 40 s. Benötigen drei Musiker für das gleiche Musikstück mehr Zeit?
  2. Ein einjähriges Kind hat eine Körpergröße von 75 cm. Kannst du berechnen, wie groß das Kind mit zwei Jahren (vier Jahren, zehn Jahren) sein wird?
  3. In Lauras Klasse sind im 6.Jahrgang insgesamt 14 Mädchen. Kannst du berechnen, wie viele Mädchen die Klasse im 7.Jahrgang haben wird?
  4. Ein Ei wird hart gekocht, wenn es zehn Minuten in kochendem Wasser liegt. Wie lange musst du 15 Eier in kochendem Wasser lassen, damit sie hart gekocht werden?
 
Du siehst, manche Zuordnungen sind nur scheinbar proportional.
 
 
 
 
Rechnen mit Spaß lernen

 
Hey, direkt proportional oder was?
 
     
 

Na du, wie geht es dir? Du warst lange nicht hier. Warum lachst du so? Du meinst, dass da auf dem Fahrrad sei eine sehr gelungene Darstellung von mir? Erstens hat der Typ noch alle seine Haare und keine vier-siebtel-Glatze wie ich und zweitens ist mein Hintern noch nicht so ausgeprägt, oder? Nein, das ist Herman the Big Biker aus Illinois.

Mit einer Pedalumdrehung legt er 1,7 m Weg zurück. Wieviel Meter Weg legt er mit 5 Pedalumdrehungen zurück? Wie du siehst, ist das ganze Leben Mathe. Man muss nur die Augen aufmachen. Also 5 Pedalumdrehungen, wie viele Meter bringt das auf der Straße? Mensch, lass den Taschenrechner stecken. In 2 Jahren darfst du ihn benutzen (vielleicht).

Mit 5 Pedalumdrehungen legt er 8,5 m zurück. Gut gemacht. Was hat das mit der Preistafel von der Tankstelle rechts zu tun?

 
     
 

Mit einer Pedalumdrehung legt er 1,7 m zurück und mit 5 Pedalumdrehungen ist es eben der fünffache Wert, also 8,5 m. Und mit 10 Pedalumdrehungen ist es der zehnfache Wert, also 17 m.

1 Liter Super bleifrei kostet 1,064 Euro. Wieviel kosten dann 10 Liter? Ja. richtig, sie kosten 10,64 Euro.

Die Anzahl der Pedalumdrehungen ist direkt proportional zum zurückgelegtem Weg.
Die Anzahl der Liter ist direkt proportional zur Höhe der Benzinrechnung.

Wir haben hier eine Zuordnung zwischen den Pedalumdrehungen und dem zurückgelegtem Weg, bzw. zwischen der Literzahl und dem Rechnungsbetrag. Werden die Pedalumdrehungszahlen verdoppelt, dann verdoppelt sich auch der zurückgelegte Weg. Verhundertfachen wir die Pedalumdrehungszahlen, verhundertfacht sich auch der zurückgelegte Weg. Das gleiche Schema gilt für die Anzahl der Liter und der Höhe der Benzinrechnung. Solche Zuordnungen begegnen dir im täglichen Leben tausendfach ohne dass es dir bewusst wird.

Solche Zuordnungen nennt man direkt proportional.

Warum man einen solch komplizierten Fachausdruck braucht? Bringst du eine Sache auf den "Begriff", dann machst du dir etwas sehr bewusst und kannst dann viel allgemeiner und abstrakter damit umgehen. Und außerdem kannst du es dann viel besser von der indirekten Proportionalität unterscheiden. Was das ist? Eigentlich will ich dir das noch gar nicht erklären. Der Rindviecherwitz am rechten Rand erklärt eigentlich das Wesentliche. Die eine Größe wird größer und die andere kleiner. So etwas gibt es nicht? Du nimmst den Mund reichlich voll.

Folgendes Problem: Ein Hochhaus wird gesprengt und der Schutt muss abgefahren werden. 12 Lastwagen benötigen hierzu 18 Tage. Wie viele Tage benötigen 24 Lastwagen? Die Anzahl der Lastwagen wird verdoppelt und die Abfuhrzeit? Richtig, sie wird halbiert. Hier handelt es sich um eine indirekte Proportionalität.

Aber jetzt geht es ans Üben von Aufgaben zur direkten Proportionalität. Eine typische Aufgabe hierzu ist z.B. 1 kg Birnen kosten 1,50 Euro. Wieviel kosten 3 kg Birnen?

1 kg Birnen <=> 1,50 Euro
3 kg Birnen <=> 7,50 Euro

Weißt du wie man so eine solche Schreibweise (= Schema) nennt? Zweisatz!!! Demnächst machen wir daraus den Dreisatz.

Versuche nun selbst, die folgenden Aufgaben zu lösen. Dazu musst du die Lösung ins gelbe Feld eintragen und dann auf den Knopf "je mehr - desto mehr" klicken, um sie zu überprüfen. Wird das Feld grün, hast du richtig gerechnet, wird es rot, hast du einen Fehler gemacht. Eine weitere Aufgabe bekommst du gestellt, wenn du auf "nächste Aufgabe" klickst. Prüfe Dich mindestens 20 mal!

Falls das Applet nicht oder nur teilweise sichtbar ist, klicke mit der Maus irgendwo außerhalb dieses Fensters hin und kehre dann zurück.

 
 
 
     
 
Aus einem einz'gen Zahlenpaar
der Dreisatz macht 'ne Paarenschar
 
 
     
 

Willst du wissen, was ich mit dem albernen Spruch meine? Dann lies dir die kleine Aufgabe hier durch.

Du hast für 6 kg Äpfel 7,20 EUR bezahlt. Wie viel musst du für 4 kg (8 kg, 0,4 kg, 0,8 kg) bezahlen?

Hier handelt es sich um eine Zuordnung zwischen dem Gewicht der Äpfel und dem Preis der Äpfel, eine direkte Proportionalität. Solche Aufgaben löst du mit dem Dreisatz. Ein Zahlenpaar, eine Zuordnung musst du kennen, dann kannst du damit beliebig viele weitere Zahlenpaare, Zuordnungen berechnen.

 

 
 
 

Äpfel in kg

 

Preis in EUR

 
   
1. Satz
 

6

<=>

7,20
 

: 6 =

 

: 6 =

2. Satz
 

1

<=>

1,20

 

· 4 =

 
· 4 =
3. Satz
 

4

<=>

4,80

       
 

8

<=>

9,60

 
 

0,4

<=>

0,48

 
 

0,8

<=>

0,96

 
 

 

Oben hast du ja schon mit dem Zweisatz gearbeitet. Jetzt ergänzen wir den Zweisatz zu einem Dreisatz. Das Applet hier funktioniert genauso wie das oben und jetzt teste dich mit mindestens 20 Aufgaben.

 
     
 
 
     
 

Du hast bestimmt gemerkt, dass die Zahlen immer schön glatt waren und du die Aufgaben im Kopf rechnen konntest. Jetzt kannst du zeigen, dass auch schwierige Zahlen für dich keine Hürde darstellen. Du musst das Ergebnis, wenn es keine ganze Zahl ist, auf drei Stellen nach dem Komma gerundet eingeben und das Komma durch einen Punkt ersetzen. Rechne aber für das Endergebnis mit dem exakten Wert weiter. Du kannst dir übrigens aussuchen, ob du eine Aufgabe mit "je mehr - desto mehr" oder mit "je mehr - desto weniger" löst. Außerdem kannst du eigene Aufgaben (z.B. Hausaufgaben) eingeben und überprüfen lassen, wenn du auf den Knopf "eigene Aufgabe" klickst.

 

 
 
 
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 16 September, 2009 18:21 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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je größer ..., desto größer ...
 
 
Super in Liter
Preis in Euro
   
5 Liter
20 Liter
30 Liter
50 Liter
80 Liter
42,56 Euro
74,48 Euro
101,08 Euro
 
 
Den Rindviecherwitz verstehst du nicht? Sagen wir einmal in 10 Jahren verstehst du ihn. Du willst trotzdem mehr über die

 

indirekte
Proportionalität

 

wissen?

Also gut, gehen wir noch einmal zu unseren Lastwagen und dem Bauschutt zurück. 12 Lastwagen brauchen 18 Tage um den Bauschutt der Sprengung abzufahren. Du hast hier eine Zuordnung zwischen der Anzahl der LKW und der Abfuhrzeit in Tagen. Vergrößert man jetzt die Anzahl der LKW, dann verkürzt sich die Abfuhrzeit entsprechend. Das "entsprechend" ist entscheidend. Nehmen wir die LKW-Zahl mal 2, dann müssen wir die Abfuhrzeit durch 2 teilen usw.

Genauso rechnet man, wenn man die Anzahl der LKW verkleinert und sich dadurch die Abfuhrzeit erhöht.

 

12 LKW <=> 18 Tage
 
Ein LKW braucht dann zwölfmal solange.
 
1 LKW <=> 204 Tage
 

4 LKW <=> 54 Tage

 

So jetzt kannst du wieder selber etwas üben. Bisher hast du in den Applets immer auf den Schalter "je mehr ... desto mehr" geklickt. In dem Appelt unten musst du auf den Schalter "je mehr ... desto weniger" klicken, weil es sich eben um eine indirekte Proportionalität handelt.