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Im Dualsystem sieht Leibniz ein so überzeugendes Sinnbild des christlichen Glaubens, dass er es sogar als Mittel der Heidenbekehrung einsetzen will. So schlägt er vor, man möge es dem chinesischen Kaiser, „der ein sehr großer Liebhaber der Rechten Kunst sey," vorlegen, „es möchte vielleicht dieses vorbild des Geheimnißes der Schöpfung dienen, ihm des Christlichen glaubens vortrefflichkeit mehr und mehr vor augen zu legen."

Dazu schreibt er einen Brief an den französischen Jesuitenpater Bouvet, der als Missionar in China tätig war, wo es heißt : „Zu Beginn des ersten Tages war die 1, das heißt Gott. Zu Beginn des zweiten Tages die 2, denn Himmel und Erde wurden während des ersten geschaffen. Schließlich zu Beginn des siebenten Tages war schon alles da; deshalb ist der letzte Tag der vollkommenste und der Sabbat, denn an ihm ist alles geschaffen und erfüllt, und deshalb schreibt sich die 7 ( im dualen System ) 111, also ohne Null. Und nur wenn man die Zahlen bloß mit 0 und 1 schreibt, erkennt man die Vollkommenheit des siebenten Tages, der als heilig gilt, und von dem noch bemerkenswert ist, dass seine Charaktere ( nämlich in der Schreibweise 111 ) einen Bezug zur Dreifaltigkeit haben."

 

Lassen wir einmal die Religion beiseite. Eines ist jedenfalls sicher, ohne das Dualsystem von Leibniz gäbe es keine Computer und unser Leben würde ganz anders ausschauen.

Soviel zu der beliebten Frage: Wozu braucht man Mathematik?

 
Übung7
 
Übung8
 
Übung9
 
Übung10
 
Übung11
 
Übung12
 
Übung13
 
Übung14
 
Übung15
 
Übung16
   
Übung17
 
Rechnen mit Spaß lernen

 

Wie rechnet ein zweifingriger Alien?
Teil 2

 
  Du hast noch nicht genug? Willst unbedingt weiter machen? Na gut, dann zeige ich dir noch wie man die Alien-Zahlen (= Dualzahlen oder binäre Zahlen) addiert. Auf die anderen Rechenarten verzichte ich hier. Sie wären wohl für einen Fünftklässler etwas schwer und außerdem stehen sie auch nicht im Lehrplan.  
     
  Lass uns erst einmal überlegen, wie wir im Dezimalsystem addieren.  
     
 
110
  Du addierst die letzten beiden Ziffern 9 + 3 = 12, dann heißt es so schön "2 geschrieben, 1 gemerkt". Dieses "1 gemerkt" ist ja ein Zehner und so habe ich eine 1 oberhalb der Rechnung in die Zehnerspalte geschrieben. Jetzt addieren wir die Zehnerspalte: 3 + 8 + 1 = 12
Wieder "2 geschrieben, 1 gemerkt". Diese "1 gemerkt" bedeutet hier aber einen Hunderter und so schreibe ich sie über die Hunderterspalte.

683

 
+ 39
 
722
 
 
     
  Genau dasselbe Rechenverfahren wenden wir jetzt beim Dualsystem an. Es hat übrigens gar keinen Zweck hier auf die Kärtchen zu klicken, die drehen sich nämlich nicht um. So etwas gibt es erst wieder unten, wenn du selbstständig arbeitest.  
     
 
             
                Die letzten beiden Ziffern werden addiert.
       
+

=

   
                Wir schreiben die 2 natürlich alienmäßig (dual).
+
          Wieder heißt es "0 geschrieben, 1 gemerkt". Die 1 schreiben wir über die Zweier-Spalte und addieren dann diese.

  Das Ergebnis wird wieder dual dargestellt.
       
+

+

=

   
 
 

Und hier heißt es "1 geschrieben, 1 gemerkt". Diesmal bedeutet das "1 gemerkt" einen Vierer, deshalb schreiben wir es über die Vierer-Spalte (3.Spalte). Die restlichen Spalten werden genauso addiert.

Du möchtest noch ein Beispiel bevor du es selbst versuchst? Ist zwar ziemlich aufwendig, aber für dich mache ich es.

 
     
 
               

Du musst dir immer wieder klar machen:

1 + 1 = 10

1 + 1 + 1 = 11

                       
             
                       

+

             

 
           
 
     
 

Übung7:
Du sollst die Rechnung 47 + 25 im dualen System lösen. Dazu musst du die beiden Zahlen erst einmal in Dualzahlen, also in Einsen und Nullen umwandeln. Wie macht man so etwas ohne unseren Kärtchencomputer?

Wenn wir die 47 umwandeln wollen, müssen wir die Stufenzahl suchen, die genau einmal bei der Division hinein passt. Das ist hier die 32. Dann teilen wir die Reste einfach der Reihe nach durch die nachfolgenden Stufenzahlen.

47 : 32 = 1 Rest 15
15 : 16 = 0 Rest 15
15 :   8 = 1 Rest   7
  7 :   4 = 1 Rest   3
  3 :   2 = 1 Rest   1

So und jetzt schreiben wir die Einsen und Nullen nicht von oben nach unten, sondern von links nach rechts und fügen den letzten Rest 1 an. Sollte einmal kein Rest 1 vorkommen, musst du noch eine 0 anhängen. Also gilt:

47 = 101111

Du willst lieber mit dem Kärtchencomputer arbeiten? Na gut, ich stelle ihn dir hier noch einmal zur Verfügung.

 
     
 
                     
         
 
     
  So und hier hast ein Rechenblatt bei dem du die Kärtchen wieder mit Mausklick und Doppelmausklick drehen und wenden kannst. Stelle also die Aufgabe 47 + 25 im Dualsystem dar.  
     
 
                     
                                     
                     
                                     

+

                   

   
                   
 
     
 

Übung8:
In der Ergebniszeile unten hast du 9 Stellen zur Verfügung. Was ist die größte Zahl, die du damit darstellen kannst? Überlege dabei, welche Stelle welcher dualen Stufenzahl entspricht.

Bei den nachfolgenden Aufgaben sollst du die Rechnung und das Ergebnis in Alien-Zahlen (Dualzahlen) darstellen.

 
 

Übung9: 12 + 13 =

Übung10: 7 + 15 =

Übung11: 19 + 13 =

Übung12: 37 + 42 =

Übung13: 63 + 31 =

Übung14: 121 + 67 =

Übung15: 233 + 152 =

Übung16: 200 + 150 =

Übung17: 111 + 110 =

 
     
     
 
 
     
Diese Seite wurde zuletzt am Mittwoch 16 September, 2009 18:21 geändert.
© 2002 Wolfgang Appell

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Gottfried Wilhelm Leibniz
geb.1.7.1646 in Leipzig
+ 14.11.1716 in Hannover

 

Hey sei nicht so frech! Das ist kein Alien und auch nicht der Erfinder der Butterkekse. Leibniz lebte vor über 300 Jahren im Zeitalter des Barock, deswegen diese merkwürdige Frisur.

Nicht irgendwelche Aliens haben das Zahlensystem mit den beiden Ziffern 0 und 1 erfunden, sondern er. Und dieses Zahlensystem hat sogar einen Namen:

 
Dualsystem oder
Binärsystem
 

Leibniz war Mathematiker, Physiker, Historiker, Sprachwissenschaftler, Jurist, politischer Schriftsteller, Philosoph und Techniker. So etwas nennt man einen Universalgelehrten, einer der das ganze Wissen seiner Zeit beherrschte. Er war einer der letzten der Neuzeit.

Was hat der mit unseren Alien-Zahlen (oder besser mit binären Zahlen) am Hut?

1672 erfand er eine Rechenmaschine, die addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und die Quadratwurzel ziehen konnte. Es war ein kleiner Computer. Natürlich gab es damals keine Elektrizität. Es war ein mechanischer Computer, der aus Walzen, Rädern und Kurbeln bestand. Diese Rechenmaschine rechnete im Zehnersystem mit 10 Ziffern.

Leider war die Feinmechanik dieser Zeit nicht so weit entwickelt, so dass die Maschine nie zur Betriebsreife entwickelt werden konnte. Erst 150 Jahre später 1818 ging die Leibnizsche Rechenmaschine in Serienproduktion.

 
 

Aufgrund der Probleme bei der Herstellung von Maschinen für das Rechnen im Dezimalsystem, entwickelte Leibniz das Dualsystem, das ihm für das maschinelle Rechnen geeigneter erschien.

Aber er hatte auch stark religiöse Motive das Dualsystem zu entwickeln. Ohne Gott ist nichts. Für Gott setzte er die Eins und für das Nichts die Null. Gleichzeitig beschäftigte ihn die Sprache. Und er erkannte, dass sie ständig Fehler zulässt. Weiter gedacht: Verständigungsschwierigkeiten führen zu Streitigkeiten. Leibniz versuchte, diese Auslöser von Streitigkeiten so klein wie möglich zu machen, ja ganz auszurotten. Dabei meinte er zu erkennen, dass unser Denken eigentlich ein Rechenvorgang sein müsste. Da schließt sich die Klammer zu seiner Religiosität und der These von Gott oder Nichts (1 und 0). Er wollte eine "sichere und logische" Symbolsprache erfinden. Daraus folgte das Dualsystem, ohne die die Elektronik und die Funktion von Computern nicht möglich wären.

In deinem Computer sausen nur Einsen und Nullen herum. All die schönen Computerspiele, Bilder, Filme und meine Mathe Applets, alles nur Einsen und Nullen. Strom fließt, also 1, oder Strom fließt nicht, also 0.

Lies am linken Heftrand weiter!